数学分析中证明不等式的常用方法

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1、万方数据第25卷第9期2009年9月赤峰学院学报(自然科学版)JournalofChifengUniversity(NaturalSeieneeEdition)V01．25No．9Sep．2009数学分析中证明不等式的常用方法蒙诗德(玉林师范学院数学与计算机科学系，广西玉林537000)摘要：不等式的证明是数学分析中的一个常见问题，其证明方法灵活多样。技巧性和综合性较强．本文例说数学分析中证明不等式的10种常见方法．关键词：数学分析；不等式；证明中图分类号：017文献标识码：A文章编号：1673—260X(2009)0

2、9_0020_03不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题，不等式证明的教学在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面也发挥着重要的作用．证明不等式没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强．下面对数学分析中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结．1利用函数单调性利用函数单调性证明不等式是数学分析中最常用的一种方法．其理论依据是函数单调性的定义．在证题中常要用到结论：若函数f在(玛b)内可导，且f(x)>0(f(x)

3、等式(1+m)^>(1+n)m分析：原不等式等价于鱼(址皿>ln(1+n)，相当于函数f睁堕趾巫满足f㈤>f(n)，于是只需证明f∞在区间【2，+∞】上是减函数即可．证明原不等式等价于鱼￡址喧>ln0+n)取函数f(x净墅出煎，(x≥2)则f．”击一半=盟学蛐一1且x≠0时成立不

4、等式击O时，由l<1+考

5、【a'b】上都连续；(ii)在(8，b)内都可导；(iii妒(x)和g．(x)不同时为零；(ivk黼≠g㈣．则存在考∈“b)，使得盟：幽型g‘固鼬卜g(a)例3设a>e，0(eosx--,my)a'ha分析原不等式可等价于—壁生一<一aIIna不等式左cosy-cosx边可看成是函数f(t)=at与g(t)=eost在区间Ix，y】上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之田．证明原不等式等价于—堡二笪≥<-a'lna,Ctf(t)利，8(c)cosy—1Ⅳli‘=cost，显

6、然f(t)和g(t)在闭区间ky】(oe，ol,lna>l从而aqna里塾}，stagsIn弓．因此—型二L<一aqna,l!pa'-a'>(eoax-eosy)aqna．cosy-eosx4利用函数的极值和最值若函数f在区间l取得最小值m和最大值M，则对任意x∈I，都有m≤f∞≤M．例4证明若P>I，则对【0，l】上的任意x有

7、音≤州l耐≤l证明取函数f(x刚1一班(o≤x≤1)，则有f(x)=px’-1呻(1-x严1--p[x'-L(1一xPl】万方数据令f．(x)=0，得矿1气l—xrl，于是有X--1--X即壮}由于日(x)在闭区间【o，1】上连续，因而m(x)在【o，1】上取得最大值和最小值，又《x)在【o，l】上可导，且有唯一的驻点，并且f㈣1声l皿}净杀丁所以f(x)在【0，l】上的最小值是击，最大值是1．从而对【0，1止的任意x有万l_≤f【x)≤l，即毒=厂≤妒“1-】沪≤1(o≤x≤1)5利用函数的凹凸性设f为区间I上的二阶

8、可导函数，则在I上f为凸函数的充要条件是f．(x)t>0，xEI．(特别若f在I上rI(x)>0，则f在I上是严格凸函数)．由凸函数的定义可证Jensen不等式：若f为【a，b】上的凸函数，则对任意的)【i∈【a'b】，hi>O(i=l，2，⋯，n)，∑净1有f(∑Ⅷ≤∑Ⅻ∞．利用函数凹凸性证明不等式时，可以用定义，也可以考虑用J