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《数学分析中不等式证明的常用方法浅探new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、沙洋师范高等专科学校学报21.加0年第期No12(洲〕2JoumalOfShayang叭纽ehe邝College数学分析中不等式证明的常用方法浅探刘淑珍,(绍兴文理学院上虞分院浙江上虞31230中图分类号:C427文献标识码:A不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题,本文将对数学分析中不等式证明。的常用方法作简单的归纳与总结、一利用函数单调性证明不等式.,,,,。由文〔171ab)可导则f在(ab)内递增(递这是最常用最基本的方法〕定理若函数f在(,,。,,,减)的充要条件是f(x)〕0(f(x)簇0)x任(ab)特别地设函数f
2、在(ab)内可异若f(二)>,,,。。o(x)证记f(x)丁-,一一,男幼J写少0+xl十X(l。f(x)=井在定义区间上单调递增l十尤又因为0‘l口bl蕊1al+1bl所以犷上华+b,!a!+1bl1al1bil+1二一+石耳几厂了妇vlIbl+1al+1blT下]万万丁了落下+la!+1bl1a11鉴十了丁「丁「石、二利用微分中值定理证明不等式.,,,,由文〔1〕定理63若f(x)在〔abj上连
3、续在(ab)内可导则,,,,f(b)-a)=f(:)(b-。任(abx二a+。x一aa卜f(口))特别地f()f()f()()则当f(),,,,二。时f(,>00Vx〔〔a我们来则有f(x)b]这些原理我们在证明不等式中也经常用到。看下面例题h例2:>0证明百In,(l+例3证明生)(二>0)不2.,,证:1令了=生则一丰
4、六y因二>0故y>o另X、1十X产+y原不等式可以写成y一护了丁丁ln(1+劝>0.2令f(刃二y一了1l。(1+妇下丁,因为f(0)二。要证不等式成立只需证明f(力>0(少>0)二22一一收稿日期叨01巧刘淑珍数学分析中不等式证明的常用方法浅探2。(,十,)一··‘二下李一丁〔‘‘’,,幻f(户共不李二Z丫l十y宁少丽台g(y)=2护了丁于一zn(l+少)一2>O再令,l一一>0又因g(0)=0所以只须证明盯y)=户上了1+y+y+,即证了ly<1+y显然成立*>InZ(所以专刃与不、。r三利用Ta刃公式证明不等式,,。,由文「l]定理6
5、7若函数f满足(1)在闭区间〔ab]上存在。阶连续导数(2)在开区间(a,,b)内n+x任(a存在f的(l)阶导数则对Vb),至少a存在一点彗任(b)使得,(·)二f(·)··)()+()2·⋯⋯,(十二一。·十一二:架一。一‘华2()厂二()一华,二二·‘,,二a,特别的当f(a)f(a)~⋯=厂(a)二0广()>o二任(b)有八二)二(二一。)一>。二寡典共、几+1夕二。利用此原理也可以证明一些不等式例4求>v二任正譬蠢(0,争·:兰sinx一xZ>证原不等式等价于证f(x)tgx0··万=see,xsi+tco一2二二:eeZx+‘一
6、二f()nx岁”(l)i二2所以f(0)二0f’(x)=Zsee,x之群31。十(see,x+l)。osx一2f’(0)=0二二;issee,,一l十bsin,戈see4x>0厂()nx(),二f(x)>Ov任(o要)石,,例5设f(x)在〔a划上二次可微且厂(x)>。.,:a,··’劣xZ‘试证簇簇簇⋯共X。、二0鉴万有f(“x、)>‘沂(x‘)艺艺证:取二。=x‘,‘x。艺凡将f(x)在处展开f(x‘)=f(x。)+x。)(二、一x。)+:‘)(:、:。),>f(x。)+xx‘一二。),入j’(f’(f(夕(以乘以式子两端,然后将几个式
7、子相加、‘·‘一二。二几‘·‘一*‘二。’二*‘二‘一,。=()。全玄艺玄x‘x。+x。二‘一x.=x。=x‘“了()>“J()“f()()f()了(“)万万万艺‘盆l‘二I‘二l落二l、四用求极值的方法证明不等式:>二,:二二一,若要证明f()到)我们只须作函数F()f()g(x)则问题转化为求证,F(x〕OV二任刀则只须证明linzF(x)>o卜例证,。xe刀应用这种方法也可以证明不等式a>,‘6设InZ一l为任一常数试证扩一Zax+l0):要证x即证f(x)因为f(0)沙洋师范高等专科学校学报.202年第1期No120()2
8、ayangTehersCollegeJoum目ofShea’于是厂(x)=。一(Zx一Za)二)=。2令f’(一x二所以InZ为唯一稳定点当x>InZ时f’>0二
