数学分析中证明不等式的常用方法.pdf

ID:56752885

大小:130.90 KB

页数:3页

时间:2020-07-07

数学分析中证明不等式的常用方法.pdf_第1页
数学分析中证明不等式的常用方法.pdf_第2页
数学分析中证明不等式的常用方法.pdf_第3页
资源描述:

《数学分析中证明不等式的常用方法.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、第25卷第9期赤峰学院学报(自然科学版)Vol.25No.92009年9月JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)Sep.2009数学分析中证明不等式的常用方法蒙诗德(玉林师范学院数学与计算机科学系,广西玉林537000)摘要:不等式的证明是数学分析中的一个常见问题,其证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强.本文例说数学分析中证明不等式的10种常见方法.关键词:数学分析;不等式;证明中图分类号:O17文献标识码:A文章编号:1673-260X(2009)09

2、-0020-03不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的xx<<x1+ξ1+ξ问题,不等式证明的教学在发展学生的数学思维,培养逻辑从而得到所要证的结论.思维能力方面也发挥着重要的作用.证明不等式没有固定的利用拉格朗日定理证明不等式,首先构造一个函数和模式,证法因题而异,灵活多变,技巧性强.下面对数学分析一个对应区间,然后利用ξ所在的位置及题中所给条件,放中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结.大(或缩小)f'(ξ)而推得不等式.1利用函数单调性3利用柯西中值定理利用函数单调性证明不等式是数学分析中最常用的

3、一文[1]定理6.5设函数f和g满足:(ⅰ)在[a,b]上都连续;种方法.其理论依据是函数单调性的定义.在证题中常要用(ⅱ)在(a,b)内都可导;(ⅲ)f'(x)和g'(x)不同时为零;(ⅳ)g(a)≠g(b).到结论:若函数f在(a,b)内可导,且f'(x)>0(f'(x)<0),则f在(a,[1]则存在ξ∈(a,b),使得b)内严格递增(递减).f'(ξ)f(b)-f(a)例1已知m、n都是正整数,且1<m<n.证明不等式=g'(ξ)g(b)-g(a)(1+m)n>(1+n)m例3设a>e,0<x<y<π,证

4、明:ay-ax>(cosx-cosy)axlna分析:原不等式等价于ln(1+m)>ln(1+n),相当于函数f2mnay-ax分析原不等式可等价于<-axlna.不等式左(x)=ln(1+x)满足f(m)>f(n),于是只需证明f(x)在区间[2,+∞]cosy-cosxx边可看成是函数f(t)=at与g(t)=cost在区间[x,y]上的改变量的上是减函数即可.商,故可用柯西中值定理证明之[2].ln(1+m)ln(1+n)证明原不等式等价于>ay-axmn证明原不等式等价于<-axlna,取f(t)=at,

5、g(t)cosy-cosxln(1+x)取函数f(x)=,(x≥2)则πx=cost,显然f(t)和g(t)在闭区间[x,y](0<x<y<)上满足柯西21ln(1+x)x-(1+x)ln(1+x)f'(x)=x(1+x)-x2=x2<0(x≥2)中值定理条件,于是存在ξ∈(x,y),使得f'(ξ)=f(y)-f(x),即g'(ξ)g(y)-g(x)所以f(x)在[2,+∞]上是减函数,从而结论成立.aξlnaay-ax=2利用拉格朗日中值定理-sinξcosy-cosx文[1]定理6.2若函数f在闭区间[a,b

6、]上连续;在开区间因为a>e,0<x<ξ<y<π,所以ax<aξ,1>1,lna>1(a,b)内可导,则在(a,b)内至少一点ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).2sinξaξlnaaξlna例2证明当x>-1且x≠0时成立不等式从而axlna<aξlna<或-axlna>,sinξsinξ11+x<ln(1+x)<xay-axxyxx因此<-alna,即a-a>(cosx-cosy)alna.cosy-cosx证明设f(x)=ln(1+x),则对任意x∈(-1,+∞),f在以x和4利用函数的极值和

7、最值0为端点的区间上应用拉格朗日中值定理有若函数f在区间I取得最小值m和最大值M,则对任意1xln(1+x)-ln1=或ln(1+x)=,ξ在0和x之间1+ξ1+ξx∈I,都有m≤f(x)≤M.当x<0时,由0<1+x<1+ξ<1,可推知例4证明若P>1,则对[0,1]上的任意x有x<x<x1≤xp+(1+x)p≤12p-11+ξ1+ξ证明取函数f(x)=xp+(1-x)p,(0≤x≤1),则有当x>0时,由1<1+ξ<1+x,可推知f'(x)=pxp-1-p(1-x)p-1=p[xp-1-(1-x)p-1]-2

8、0-令f'(x)=0,得xp-1=(1-x)p-1,于是有x=1-x即x=1f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(ξ1)(x-a)2,a<ξ1<x(1)22!由于f(x)在闭区间[0,1]上连续,因而f(x)在[0,1]上取得最f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f"(ξ2)(x-b)2,x<ξ2<b(2)2!大值和最小值,又f(x)在[0,1]上可导,且

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
正文描述:

《数学分析中证明不等式的常用方法.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、第25卷第9期赤峰学院学报(自然科学版)Vol.25No.92009年9月JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)Sep.2009数学分析中证明不等式的常用方法蒙诗德(玉林师范学院数学与计算机科学系,广西玉林537000)摘要:不等式的证明是数学分析中的一个常见问题,其证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强.本文例说数学分析中证明不等式的10种常见方法.关键词:数学分析;不等式;证明中图分类号:O17文献标识码:A文章编号:1673-260X(2009)09

2、-0020-03不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的xx<<x1+ξ1+ξ问题,不等式证明的教学在发展学生的数学思维,培养逻辑从而得到所要证的结论.思维能力方面也发挥着重要的作用.证明不等式没有固定的利用拉格朗日定理证明不等式,首先构造一个函数和模式,证法因题而异,灵活多变,技巧性强.下面对数学分析一个对应区间,然后利用ξ所在的位置及题中所给条件,放中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结.大(或缩小)f'(ξ)而推得不等式.1利用函数单调性3利用柯西中值定理利用函数单调性证明不等式是数学分析中最常用的

3、一文[1]定理6.5设函数f和g满足:(ⅰ)在[a,b]上都连续;种方法.其理论依据是函数单调性的定义.在证题中常要用(ⅱ)在(a,b)内都可导;(ⅲ)f'(x)和g'(x)不同时为零;(ⅳ)g(a)≠g(b).到结论:若函数f在(a,b)内可导,且f'(x)>0(f'(x)<0),则f在(a,[1]则存在ξ∈(a,b),使得b)内严格递增(递减).f'(ξ)f(b)-f(a)例1已知m、n都是正整数,且1<m<n.证明不等式=g'(ξ)g(b)-g(a)(1+m)n>(1+n)m例3设a>e,0<x<y<π,证

4、明:ay-ax>(cosx-cosy)axlna分析:原不等式等价于ln(1+m)>ln(1+n),相当于函数f2mnay-ax分析原不等式可等价于<-axlna.不等式左(x)=ln(1+x)满足f(m)>f(n),于是只需证明f(x)在区间[2,+∞]cosy-cosxx边可看成是函数f(t)=at与g(t)=cost在区间[x,y]上的改变量的上是减函数即可.商,故可用柯西中值定理证明之[2].ln(1+m)ln(1+n)证明原不等式等价于>ay-axmn证明原不等式等价于<-axlna,取f(t)=at,

5、g(t)cosy-cosxln(1+x)取函数f(x)=,(x≥2)则πx=cost,显然f(t)和g(t)在闭区间[x,y](0<x<y<)上满足柯西21ln(1+x)x-(1+x)ln(1+x)f'(x)=x(1+x)-x2=x2<0(x≥2)中值定理条件,于是存在ξ∈(x,y),使得f'(ξ)=f(y)-f(x),即g'(ξ)g(y)-g(x)所以f(x)在[2,+∞]上是减函数,从而结论成立.aξlnaay-ax=2利用拉格朗日中值定理-sinξcosy-cosx文[1]定理6.2若函数f在闭区间[a,b

6、]上连续;在开区间因为a>e,0<x<ξ<y<π,所以ax<aξ,1>1,lna>1(a,b)内可导,则在(a,b)内至少一点ξ,使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).2sinξaξlnaaξlna例2证明当x>-1且x≠0时成立不等式从而axlna<aξlna<或-axlna>,sinξsinξ11+x<ln(1+x)<xay-axxyxx因此<-alna,即a-a>(cosx-cosy)alna.cosy-cosx证明设f(x)=ln(1+x),则对任意x∈(-1,+∞),f在以x和4利用函数的极值和

7、最值0为端点的区间上应用拉格朗日中值定理有若函数f在区间I取得最小值m和最大值M,则对任意1xln(1+x)-ln1=或ln(1+x)=,ξ在0和x之间1+ξ1+ξx∈I,都有m≤f(x)≤M.当x<0时,由0<1+x<1+ξ<1,可推知例4证明若P>1,则对[0,1]上的任意x有x<x<x1≤xp+(1+x)p≤12p-11+ξ1+ξ证明取函数f(x)=xp+(1-x)p,(0≤x≤1),则有当x>0时,由1<1+ξ<1+x,可推知f'(x)=pxp-1-p(1-x)p-1=p[xp-1-(1-x)p-1]-2

8、0-令f'(x)=0,得xp-1=(1-x)p-1,于是有x=1-x即x=1f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"(ξ1)(x-a)2,a<ξ1<x(1)22!由于f(x)在闭区间[0,1]上连续,因而f(x)在[0,1]上取得最f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f"(ξ2)(x-b)2,x<ξ2<b(2)2!大值和最小值,又f(x)在[0,1]上可导,且

显示全部收起
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
关闭