浅谈证明不等式的常用方法

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1、浅谈证明不等式的常用方法【摘要】不等式的证明问题，在数学中由于题型多变、方法多样、技巧性强，再加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度比较大。不等式的证明关键在于熟练掌握不等式的性质和一些基本的不等式，并且灵活运用常用的证明方法。【关键词】不等式；常用方法；用不等号联结两个解析式所成的式了，叫做不等式。常用的不等号有两类：“<”和“〉”，叫做严格不等式；和“2”叫做非严格不等式。下面就谈谈不等式的一些常用方法。1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法z—,它是直接作出所求证不等式两边的差或商，然后推演结论的

2、方法。比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）O（1）差值比较法的理论依据是不等式的基木性质：aa-b^0,则a2b；o-bWO,则aWb"。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;①变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；②判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当耍被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。例1已知a>/?>c

3、,求证a2xb+a2>ab2+be2+ca2解：(a2b+ac2+b2c)-(ab2+be2+ca2)=(b-c)a2+(c2-b2)a+(b~c)be=(b-c)[a2-(b+c)a+bc]=(a~b)(b~c)(a~c)>0这是因为a〉b〉c,所以a-b〉0,b-c〉0,a~c>0.例2：求证：aW+5^2(2a+b)证明：a2+b2+5~2(2a+b)=a2+b2+5-4a~2b=a2-4a+4+b2-2b+1=(a-2)2+(b-1)2•・・(a-2)2+(b-l)2>0得证。・・・a2+b2+5-2(2a+b)^0Aa2+b2+5^2(2a+b)注意：在用作差比较法证明时，耍注

4、意同类项的相差，耍注意计算的小节。在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。(2)商值比较法的理论依据是：“若a,beR+,-^1a$b；aWb”。其一•般步骤bb为：①作顔将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大丁・1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含冇幕、指数式时，一般使用商值比较法。例5：已知a、b为正数且aHb；求证:a8bb>abba证明：ab7abba=aa-bbb-a=aa-bb-(fl-b)=(a/b)(a-b)①若a>b>0,则a/b>1且@-b)>0・•・(a/b)(a_b)>(a/b)°=l②

5、若OVaVb；则a/bVI且(a~b)<0・・・(a/b)3)>(纟)。=1b综合①、②(兰)eq1恒成立。又abbn>0得证。Aaabh>ahba1.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”。例：已知a、b、c为三角形的三条边,求证：a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)o证明：不妨设a^b^c；又・・匕、b、c为三角形的三条边，.a>b-c^O两边平方得：a2>(b~c)2①同理：b2>(a-c)2②c2>(a-b

6、)2……③由三个同向不等式相加得：a2+b2+c2>(b~c)2+(a~c)2+(a~b)2整理得：a2+b2+c2<2(ab+bc+ac)得证。注意：分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一•种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常

7、用分析法探索证题的途径，Z后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还冇的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的口的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。1.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看