证明不等式的几种常用方法.doc

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1、..证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．一、反证法如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少

2、任何一种可能，则反证法都是不完全的．用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．例1设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d；②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确．反证法：假设不

3、等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a＋b)＜ab＋cd，④由不等式③得(a＋b)cd＜ab(c＋d)≤()·(c＋d)，∵a＋b＞0，∴4cd＜(a＋b)(c＋d)，综合不等式②，得4cd＜ab＋cd，∴3cd＜ab，即cd＜ab．由不等式④，得(a＋b)＜ab＋cd＜ab，即a＋b＜－......ab，显然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．例2已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．证明：反证法由abc＞0知a≠0，假设a＜0，则bc＜0，又∵a＋b＋c＞0，∴b＋c＞－a

4、＞0，即a(b＋c)＜0，从而ab＋bc＋ca=a(b＋c)＋bc＜0，与已知矛盾．∴假设不成立，从而a＞0，同理可证b＞0，c＞0．例3若p＞0，q＞0，p＋q=2，求证：p＋q≤2．证明：反证法假设p＋q＞2，则(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq(p＋q)＞8，∵p＋q=2，∴pq(p＋q)＞2．故pq(p＋q)＞2=p＋q=(p＋q)(p－pq＋q)，又p＞0，q＞0p＋q＞0，∴pq＞p－pq＋q，即(p－q)＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．例4已知=x＋ax＋b，其中a、b是与x无关的常数，求证：

5、

6、，

7、

8、，

9、

10、中至少有一个数不小于．反证法一：假设

11、

12、

13、＜，

14、

15、＜，

16、

17、＜，由于=1＋a＋b，=4＋2a＋b，=9＋3a＋b，∴＋－=2，但是，2=

18、＋－

19、≤

20、

21、＋

22、

23、＋2

24、

25、＜＋＋2×=2，......即2＜2，矛盾，∴假设不成立，∴

26、

27、，

28、

29、，

30、

31、中至少有一个数不小于．反证法二：假设

32、

33、＜，

34、

35、＜，

36、

37、＜，即①＋③得：－1＜4a＋2b＋10＜1，即－＜2a＋b＋5＜，∴－＜2a＋b＋4＜－，④显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的，故

38、

39、，

40、

41、，

42、

43、中至少有一个数不小于．例4设a，b，c均为小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于．证明：反证法假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，即

44、(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，则由＜(1－a)b≤()＞，同理：＞，＞，三个同向不等式两边分别相加，得＞，矛盾，所以假设不成立，∴原结论成立．例6若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1．证明：反证法......假设那么≥＞1，①同理＞1，②＞1，③①＋②＋③，得3＞3矛盾，即假设不成立，故(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1．二、三角换元法对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．若变量字母x的取值

45、围与sin或cos的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x＋y≤r，＋=1或－=1的条件可以分别引入三角代换(

46、r

47、≤1)，或，其中的取值围取决于x，y的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．例2已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－x