论不等式的几种证明方法

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1、论不等式的几种证明方法一、比较法(一)在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法。（二）证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径。差值比较法原理　.商值比较法原理　若，且，则.使用求商比较法证明不等式时，一定要注意的前提条件。（三）求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”。其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的。　　变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少。　　变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式。

2、或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等。总之，能够判断出差的符号是正或负即可。（四）作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明。例题1证明（）证法一由，所以方法二由，知，即，所以二、分析法“执果索因”（实质）29（一）从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法。　　有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的

3、每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立。这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据。（二）分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式。它与综合法是对立统一的两种方法。（三）用分析法证明不等式的逻辑关系是：为了证明……只需证明……因为……成立……所以……也成立… 。（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）（四）分析法是不等式中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键

4、词。如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等。（五）分析法是证明不等式时一种常用的基本方法。当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决。特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效。例题欲证，因为,29 只需证，   即证， 即证因为成立，所以成立。三、综合法“由因导果”（实质）（一）利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。（二）综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式。（三）综合法证明不等式的逻辑关系是：理论根

5、据　　即此种方法常用到的重要不等式　　　（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）（四）利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键。例已知，求证29［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证。证明因为，则，所以。故例已知，，是不全相等的正数，求证[分析]由不等式右边为是积的形式，左边是和的形式，可知由出发可证。因为，，是不全

6、相等的正数。所以，，，且三式不能全取“=”号。所以即以上三种方法，是证明不等式的最基本方法比较法是证明不等式中最常用的方法，而分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。即推理方向是：结论已知。　　综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。即：已知 结论。分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“29已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件。　　综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步

7、推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件。各有其优缺点：　　从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论。　　从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达。一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦。因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的。四、反证法(一)反证法的逻辑程序是：否定

8、结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。（二）思想方法：为了证明A＞B成立