不等式证明中的几种新颖方法

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1、不等式证明中的几种新颖方法不等式证明中的几种新颖方法在不等式的证明中有我们熟悉的常用的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等；除此之外，如果我们从某些不等式结构和形式出发，把握其本质属性，结合已学过的其它知识，往往还可得到一些更加巧妙、新颖的解法。本文就不等式的证明问题提供几种新颖方法，仅供读者参考。1．反解不等式法选取待证的不等式中的某一字母或数值（如a），将它替换成未知数x，解此含有x的不等式可得不等式的解集A1；将字母a的取值范围A与解集A1进行比较，若A?A1，则由不等式解的定义

2、证得结论。例1：求证：tan12?tan50?3tan12tan50?3。0000证明：欲证原不等式成立，即证tan12适8不等式证明中的几种新颖方法不等式证明中的几种新颖方法在不等式的证明中有我们熟悉的常用的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等；除此之外，如果我们从某些不等式结构和形式出发，把握其本质属性，结合已学过的其它知识，往往还可得到一些更加巧妙、新颖的解法。本文就不等式的证明问题提供几种新颖方法，仅供读者参考。1．反解不等式法选取待证的不等式中的某一字母或数值（如a），将它替

3、换成未知数x，解此含有x的不等式可得不等式的解集A1；将字母a的取值范围A与解集A1进行比较，若A?A1，则由不等式解的定义证得结论。例1：求证：tan12?tan50?3tan12tan50?3。0000证明：欲证原不等式成立，即证tan12适8合含有x的不等式0x?tan500?3tan500x?3??(1)即可。解此不等式可得：x?3?tan5001?3tan500?tan600?tan500?tan100，即不等式（1）的解集为001?tan60tan50(tan100,??)。又tan1

4、20?tan100，从而tan120必满足（1）式。∴原不等式成立。2．构造函数法根据所给不等式的特征，构造一个熟悉函数，往往是易证明单调性的函数，利用所构造函数的性质，如单调性、奇偶性、有界性等来证明。例2：求证：a?b1?a?b?a1?8a?b1?b。M的形式，可构造函数1?Mx11f（x）=，x∈（0，＋∞）。即f（x）=1－；∵在（0，＋∞）上是单调1?x1?x1?x分析：观察不等式左右两边，各个式子外形结构皆相似于递减函数，∴f（x）在（0，＋∞）上是单调递增函数。令x1?a?b，x2?

5、a?b。∵x1≤x2，∴f（x1）≤f（x2）即：a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a?8b=a+b≤a1?a?b1?b????3．构造向量法根据所给不等式的特征，通过构造向量，利用向量的有关性质，如a?b?ab，??????a?b?a?b?a?b等，使问题得以证明。例3：求证：2x?6?x?32。证明：令a?(2,1)，b?(x,6?x)；则有a?b??????2x?6?x，a?38，?????b?6，又∵a?a?b?ab；∴2x?6?x?3?6?32；因此原不等式成立。4．“反

6、客为主”法“反客为主”是我国古代三十六计之一，在很多领域有着广泛的应用。在证明某些不等式时，有时直接法考虑，有很大难度，但若采用“反客为主法”，变更题目中的主元，往往使不等式容易得证。例4：设a?R，函数f(x)?ax2?x?a,(?1?x?1)，若a?1，证明f(x)?5。4解析：本题若直接证明，难度较大；但若采用反客为主法，变更主元，即将函数式看2作是关于a的函数，即令g(a)?(x?1)a?x,则问题转化为证明当?1?a?1时，g(a)?5。45。4⑵当?1?x?1时，g(a)?(x2?1)

7、a?x,(?1?a?1)是关于a的一次函数，且x2?1?0，函8数y?g(a)在a???1,1?是减函数，则g(1)?g(a)?g(?1)；欲证55555g(a)?，即证??g(a)?；只需证g(1)??且g(?1)?成立。又44444155155g(1)?x2?1?x?(x?)2???；g(?1)??x2?1?x??(x?)2??。因244244⑴当x??1时，g(a)??1，适合g(a)?此原结论成立。总之，不等式的证明方法是多种多样的，只要同学们在学习中细心观察，善于分析，8就一定能得到更多

8、简捷巧妙的解法。28