不等式证明的几种方法

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1、不等式证明的几种方法刘丹华余姚市第五职业技术学校摘要：不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。关键词：不等式；证明方法；分析问题引言证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。一、构造法构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构

2、特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。（一）、构造方程证明不等式某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。例1如果，，均为实数，且，.求证：，，.证明：由已知的两个等式中消去，得因为，所以所以所以同理可证：，.6（二）、构造函数证明不等式根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。例2已知，，为的三边，求证：.证明：从结论形式看，各项均具有的形式，于是可构造函数，易证在上为增函

3、数因为，，为的三边所以所以即.又如：求证可用类似方法证明。（三）、构造几何图形证明不等式把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。例3已知实数，满足，求证：.y分析：原式左边可看作点与点间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点，，其中是直线与两坐标轴的交点，连线段上点，如图所示-22BQC-1xOA-1P-2图6原式左边就是，设中点因为，又为等腰所以故，即所以.（四）、构造复数证明不等式由于复数的模与二次根式的形式相似，故涉及到二次根式形如有关的不等式时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复

4、数模的性质加以证明。例4已知为，，非负实数，求证：.此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。分析：，，非负实数，，这样，不等式左右各项和复数模表示相似于是可构造复数：，，.则从而命题得证.二、反证法反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“”与它的否定“非”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。（一）、推理的结果与已知的知识相矛盾例5对实数，，，，，，有.且.6求证：.分析：假设，，，中有正数且，则，由题设，有，相乘得，因为.所以，整理得，这与

5、“任何实数的平方非负”矛盾.（二）、推理的结果与已知条件相矛盾例6已知数列，，，满足，且.求证：，，，均是非正数.分析：假设是数列，，，中出现的第一个正数，则且由得，即.如此类推可得：与已知矛盾.（三）、推出两个相互矛盾的结论例7设，，是的平方根的实部绝对值.求证：.分析：设，即比较两边的实部与虚部，有6②①假设，即，则③结合①与③知，从而•④另一方面，由柯西不等式知，•与④矛盾故成立.反证法是处理绝对值问题的强有力的工具，但单纯用反证法往往较难得出矛盾，必须与其他方法结合运用，有时还要通过构造等手段来表达目的。在得到两个相互矛盾的结果的过程中，一是根据假设

6、进行推理，二是由条件进行推理，两个方面缺一不可。（四）、推理的结果与假设相矛盾例8已知是首项为，公比为的等比数列，是它的前项和，用表示；是否存在自然数和，使得成立.分析：，；假设存在符合条件的自然数和，则，从而6（*）令，则由（*）式得即，由知上述不等式对任意不成立.故这样的自然数和不存在.反证法证明不等式有两个明显的特点，一是前提中增加了新的条件，也就是结论的反面成立，并在证明过程中使用这个条件；二是反证法无需专门去证某个特定的结论，只需利用否定结论导出矛盾即可。可以看到，反证法具有分析法的特点，它们都从问题的结论去着手考虑，但两者又是截然不同的。反证法是

7、从否定结论中开始，到得出显然矛盾的结论而结束；分析法则是从肯定结论成立开始，到得出显然成立的结果。反证法实际上是否定式的分析法。不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。参考文献：[1]唐为民.构造法在证明不等式中的应用[J].数学教学通讯.2001.9.41-42.[2]周顺钿.用反证法证明不等式[J].中学数学研究.2004.4.35-36.[3]翁耀明，毛家俊.某些不等式的概率方法证明[J].上海电力学院学报.2003.3.57-59.[4]徐群芳

8、.高等数学中证明不等式的几种方法[J].太原教育学院