数学分析中的不等式证明问题-论文.pdf

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1、2014年9月阴山学刊Sep．2014第28卷第3期YINSHANACADEMICJOURNALVo1．28No．3数学分析中的不等式证明问题王建莉(包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头014030)摘要：不等式形式是高等数学和数学分析中的常见数学形式，它反映了变量之间的一种关系。本文总结了数学分析中有关不等式证明的三种重要方法：拉格朗日中值定理法，柯西中值定理法，定积分理论法。对每种方法都是以先概括要点，再选取典型而又有不同难度的例题，逐层剖析，归类讲解。通过以上方法的应用使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解，从而为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工

2、具。关键词：不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；定积分中图分类号：O178文献标识码：A文章编号：1004—1869(2014)03—0097—041引言不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具。在数学领域中占有重要的地位，也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位。本文介绍的三种证明不等式的方法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法和定积分理论法。希望通过对这三种方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式。

3、2用拉格朗日中值定理证明不等式法2．1定理内容若函数)满足：1)在闭区间[口，b]上连续；2)在开区间(口，b)可导，则在(0，b)内至少存在一点，使得厂()：2．2证明思路(1)确定函数)施用拉格朗日中值定理的区间[口，b]；(2)对)在[n，b]上施用拉格朗日中值定理；(3)利用与0，b的关系，由拉格朗日中值公式得到所要证明的不等式。2．3适用范围当所证的不等式中含有函数值的差或区间端点值的差，可用拉格朗日中值定理来证明。2．4例题分析例I：设_厂()在[n，b]上连续，在(口，b)上可微()在(a，b)内单调递增。证明：对任意l，：∈[口，b]及A∈[0，1]，有

4、A。十(1一A)2]≤A厂(1)+(1一A：)(1)收稿日期：2014—05—28作者简介：王建莉(1974一)，女，汉，内蒙古包头人，学士，实验师。97证明：显然当A=0或A=1时，(1)式显然成立，因此只讨论A∈(0，1)即可。Vl，2∈[，b]，不失一般性，设l<2，令=Axl+(1一A)2，有X1<

5、(3)(4)代入(2)有A[)一，)]+(1一A)[厂()一_厂(：)]=A尸()((1一A)(：一)+(1一A)(v)a(一z)：A(1一A)(一。)[厂()一厂(叩)](5)由已知厂()在(a，b)内单调递增，根据。<<<77<，有厂()一厂(叼)≤0。由(5)得A[)一厂(。)]+(1一A)[)一，()]≤0。即：／)≤^厂()+(1一A)。A。+(1一A)]≤A厂(．)+(1一A)，()。3用柯西中值定理证明不等式法3．1定理内容若-厂()与g(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(o，b)内可导，并且g()≠0，则在(o，b)内至少存使=髂。3．2证明思路(

6、1)构造两个辅助函数，()和g()，并确定它们施用柯西中值定理的区间[a，b]；(2)对)与g()在[a，b]上施用柯西中值定理；(3)利用与a，b的关系，对柯西公式进行加强不等式。3．3适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明。3．4例题分析例2：设口>P，0<(COSX—cosy)axlna。分析：原不等式等价于—二旦一<一axlna此时不等式左边是函数，(￡)=口与g(t)=cost在区间[，Y]上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之。证明：原不等式等价于—二一<一axlna，

7、设辅助函数￡)=口，g(￡)=cost。因)与g()均在[0，b]上连续，在(，Y)上可导，且厂(t)=atlna，而0<e，∈(，Y)，0<一—aQna_。Slns1n因此——二-_二二L<一Ⅱln0cosy——COSX即a一口>(COS：~一cosy)alna。4