考研数学中的不等式证明

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1、考研数学中的不等式证明陈玉发郑州职业技术学院基础教育处450121摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．关键词：考研数学不等式中值定理幂级数（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121）微分中值定理是微积分学中的一个重

2、要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）(2)设，证明对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，，，然后证明在时，．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的

3、读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：，其中beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnes

4、stiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore，其中．原命题得证．证：Ⅱ利用微分中值定理，（微分中值定理），（）原命题得证．证明Ⅲ利用幂级数展开：设，原不等式等价于，而，．由于，，所以，．通过比较以上两个级数可知原不等式成立．对于不等式的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证一下．beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequireme

5、ntsplacedontheterminalstripterminals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试

6、卷第六题）设，，证明对任何，有．证：不妨设，，，，显然，而，所以单调递减．原不等式得证．例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）论证：当时,．证：，（柯西中值定理），（介于1与之间）当时，上式显然成立；当时，我们可以证明，．命题得证．例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题）(15)设，证明．证：beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedontheterminalstripter

7、minals,onlineidentityandensurethecoppercoreisnotexposed.6.4.6enclosurewithinthesametothecablecoreprovidesbindingintoacircle,harnesstiespacingisgenerally100mm;branchofficesshallbebindingonbothends,eachcore，，因为，所以，．所以，原不等式成立．例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）证明：当时

8、，．证：令，令，，，，所以在内，单调减少，即．原命题得证．例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题(1)比较与的大小,说明理由。解：因为（拉格朗日中值定理），，beconsistentwithinthesamedisk.Alternateunifiedcorerequirementsplacedonthetermin