考研数学中的不等式证明.doc

《考研数学中的不等式证明.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、考研数学中的不等式证明陈玉发郑州职业技术学院基础教育处摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．关键词：考研数学不等式中值定理幂级数（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：）微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数

2、学中的不等式证明谈一下中值定理的应用．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）(2)设，证明对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，，，然后证明在时，．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：，其中，其中．原命题得证．证：Ⅱ利用微分中值定理，（微分中值定理），（）原命题得证．证明Ⅲ利用

3、幂级数展开：设，原不等式等价于，而，．由于，，所以，．通过比较以上两个级数可知原不等式成立．对于不等式的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证一下．例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）设，，证明对任何，有．证：不妨设，，，，显然，而，所以单调递减．原不等式得证．例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）论证：当时,．证：，（柯西中值定理），（介于1与之间）当时，上式显然成立；当时，我们可以证明，．命题得证．例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题）(15)设，证明．证：，，因为，所以，．所以，原不等

4、式成立．例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）证明：当时，．证：令，令，，，，所以在内，单调减少，即．原命题得证．例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题(1)比较与的大小,说明理由。解：因为（拉格朗日中值定理），，所以。即。例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）证明：，．证：原不等式等价于：（仅当时取等号）（当时），（柯西中值定理，其中），，因为，所以不等式成立．利用同样的方法可以证明当时，不等式成立．综上所述，原不等式成立．例8证明：当时，．证：当时，，（利用柯西中值定理），其中．原不等式成立．例9证明

5、：当时，．证明：（柯西中值定理），因为，所以，原不等式成立．中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．