抽象函数解答题

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1、抽象函数解答题班级：姓名：一、解答题1.已知函数f(x)对于任意的实数X"都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)-f(4x)-f(-2)(2)若f⑴二2,求函数KE在［-2,2］上的最大值；(3)求关于x的不等式2'2的解集.f［--j=22.定义域为R的函数f(x)满足：2/,且对于任意实数X,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),当x>°时，°vf(x)vl(1)求K°)的值，并证明当x<°时，f(x)>l；(2)判断函数KE在R上的单调性并加以证明；(3)若不等式f((a2-a-2

2、)x2-(2a-l)2x+2)>4对任意xe［1,3］恒成立，求实数a的取值范围./x+yf(x)+f(y)=f3.定义在⑷)上的函数y=f(x)满足：对任意的Ye(-U)都有U+xy/.(1)求f(0)的值;(2)若当f(x+-)+f

3、—)>0x€(JO)时，有f(x)>0,求证：f(x)在(-1,1)上是单调递减函数；(3)在(2)的条件下解不等式：2/l-x/1.设f(x)是定义在2,o)u(0,+8)上的函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),当x〉1时，f(x)v0.(1)求f⑴的值,试证明f(x)是偶函数.(2)证明f(x)在(0,2)上单调递减.(3)若f(3)=

4、-l,f(x)+f(x-8)>-2,求x的取值范围.2.已知/(兀)是定义在［一1,1］±的奇函数，且/(-1)=1,若兀］,兀+『工0时，冇"¥：严<0成立.(1)判断/(%)在［一1,1］±的单调性，并证明；(2)解不等式/(2x-l)>/(l-3x)；(3)若/(兀)<加_2期+1对所有aw［-1,1］的恒成立，求实数加的取值范I韦I./、3.已知函数/(X)的定义域为(O,4W),当x〉l吋，/(x)<0,且对任意正实数兀厂满足/-=/(x)-/(y)-/(x)的(3丿

5、兀的取值范围.参考答案1.(1)奇函数(2)4(3){x

6、x<・2或x>・l}【解析】【分析】(1)对函数进行赋值，求出f(°),令尸讥即可根据定义判断出奇偶性；(2)由定义法证明其单调性，再由单调性求出给定区间上的最值；(3)利用奇函数的性质及已知的函数性质，将不等式化为fg)>f(n)的形式，再利用单调性列出不等式，求出解集.【详解】解：(1)・・卄(刈的定义域是R关于原点对称，令x=y=O,得f(O)=o,再令y=・x,得f(・x)=-f(x)・・」“)是奇函数.(1)设任意乂宀W&且X]vx?,则x?・X]>0,由已知得期25)<0,①又昵・XJ=f(x2)+K・xj二fg・f(

7、xj,②由①②知％>%),・・.f(x)是R上的减函数,当xG[・2,2]时，f(x)max=f(-2)=-f(2)=-f(l+1)=-2f(l)=4・・.地)在[・2,2]上的最大值为4⑶由已知得：4加)・3)>2[心)讥・2)],由(1)知f(x)是奇函数，又f(x+y)二f(x)+f(y)恒成立，上式可化为：4'2x2_4x)>2心+2)=f(x+2)+f(x+2)=f(2x+4)由(2)知KE是R上的减函数，.・.-2x2-4x<2x+4化简得(x+2)(x+1)>0.••原不等式的解集为{x

8、x<・2或x>-1}.【点睛】木题考查抽象函数与函数的奇偶性与单调性，抽象函数要采用赋

9、值的方式利用，无解析式的函数不等式求解时，要利用函数单调性列出不等式，求出解集.1.(1)见解析；(2)见解析；(3)沐0或【解析】分析：⑴赋值：令x",y=°,可得f⑴=f⑴f(°)，令y=•x,设xvo,则f(o)=f(x)f(-X),1f(x)=f(-x),因为-x>0,ovf(・x)vl,所以f(x)>1(2)单调性证明根据定义证明即可：设X11,f(xj・f(xj=f((X]・x2)+X2)-f(x2)=f(X]・x2)f(x2)・f(x2)=f(xJ(f(X]・X2)・1),由(])知fg>0,所以f(xJ・f(xj>0,即f(xJ

10、>f(X2),(3)结合(2)的单调性可得只需解程・a・2)X2-(2a-l)2x+2v・1,对任意x6[切]恒成立即可详解：(1)由已知,对于任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),令x=l,y=0,可得f(l)=f(l)f(O),因为当x>°时，00,01(