函数抽象函数(函数类型)

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1、函数一抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一•种符号表示的函数。抽彖来源于具体。抽彖函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的,高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基木函数为背景抽象而得，解题吋，若能从研究抽彖函数的“模型”入手，根据题设中抽彖函数的性质，通过类比、猜想出它町能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。★★抽象函数常见模型:函数模型抽彖函数性质正比例函数/（x）=kx（k丰0）f(

2、x±y)=f(x)±f(y)一次函数/(x)=kx十b(kH0)f(x+y)+b=+幕函数f(x)=xnf(xy)=/(x)/(yW(-)=供yf(y)二次函数/(x)=ax24-/?a*+c(a^O)f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c指数函数/(x)=aa>OMtz1)/(x+y)=/W/C^WU-y)=f(y)对数函数/(x)=log“x{a>0且aH1)f(xy)=f(x)+/(刃或/(==/(x)-/(.V)或yf(xm)=mf(x)余弦函数/（X）=cosX/⑴+/O）=2/（号）/（号）（和差化积）f（x+y）+f（x

3、一y）=2f（x）f（y）还有周期性。正切函数/(x)=tanxf（x±y）=加土他）余切函数f（x）=cotx/（X）土f{y）以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数y=kx是满足函数恒等式f(x±y)=/(x)±/(j)的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题口标展开联想，给解题帯来了思路。例］、已知函数/(兀)对任意实数x,y,均有f(x±y)=/(x)±/(y),当兀>0时，/(x)>0,/(一1)=一2,求/(兀)在区间［―2,1］上的值域。分析：由题设可知，函数/(x)是y=kx伙H0)的抽象函数，因此求函数/(兀)的

4、值域，关键在于研究它的单调性。二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y二ax+b是满足函数恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)-b的最常见的模型。例2、己知函数f(Q对任意/?,满足条件f(力+/(/)=2+f(x+y),且当Q0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式/(/一2幺-2)〈3的解。分析：由题设条件可猜测:fix'是y=x+2的抽象函数，且(力为单调增函数,如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式屮的函数符号，从而可求得不等式的解。三、以幕函数为模型的抽象函数幕函数型抽象函数，即由幕函数抽象而得到的函数。由幕函数的运算法则知/(兀)

5、=兀“是我们最熟悉的满足恒等式fxy)=f(兀)/(y)W(-)=^-的函数。yf(y)例3、已知函数f(Q对任意实数八y都有f(“)(Q・f(y),且/(-l)=1,f(27)=9,当OWxvl吋，70)u［CU)。(1)判断/•(%)的奇偶性；(2)判断f(Q在[0,+-)上的单调性，并给出证明；(3)若QXO且/a+DS旳，求日的取值范围。2分析：由题设可知/(%)是幕函数》=庐的抽彖函数，从阳可猜想f(Q是偶函数，n在[0,+°°)上是增函数。四、二次函数型的抽象函数例4、定义在R的函数/(X)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2

6、xyf几1)=2,则/(-3)等于()A.2B.3C.6D.9五、指数函数为模型的抽象函数由指数函数的性质知y=ax{a>^a^)是满足恒等式/(x+y)==供的重要函数2—。f(y)例5、已知函数/*(兀)对于—切实数兀、y满足/(0)HO,y(x+y)=f(x)f(y),且当兀<0时,/(x)>1(1)当兀>0时,求于(兀)的取值范围(2)判断/(兀)在R上的单调性分析：由/(x+y)=/(x)/(y)可知fix)是指数函数f(x)=ax(a>0且心1)的抽象函数，从而可猜想0VQV1六、以对数函数为模型的抽象函数由对数函数的性质知/(x

7、)=log.兀⑺>0且a工1)是满足恒等式Y/(xy)=/(兀)+/(刃或产(一)=fM-f(y)的重要函数之一。y例6、已知函数/(x)定义域为(0,+a)且单调递增，满足/⑷二1,/(xy)=/U)+/(y)(1)证明：f(1)=0；(2)求/仃6)；(3)若/(兀)+f(X-3X1,求无的范围；(1)试证f(x,l)=nf(x)(nGN)分析：由/(xy)=/W+f(y)可知f(Q是对数函数/(兀)=log“兀(a>OH。工1)的抽象函数七、以三角函数为模型的抽象函数如满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)或f(x)+f(y)

8、=2/(X+^)/(—~)的函数22便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f(x+y)=/(X)+/(〉')的抽象函数,则常以正切函数为模型进行联想。