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《數學思考與解題的策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、淺談幾個數學解題的模式「解題」是數學中一個主耍的活動'從小到大數學的學習活動，都脫離不了學習如何去解題，這一連串的課程主耍是取材於George.Polya的vv如何解題»«數學發現＞＞、«數學與猜想＞＞這三部書，希望能介紹一些有用的策略與方法，讓讀者在學習數學的過程中，能有一些遵循的模式與法則。當然並不是所有的問題都能經由這些模式去解決，但是我們試圖舉出一些理性、有效率的建議，以提供讀者參考。(A)雙軌跡模式：模式的敘述：把問題簡化爲作一個點，然後，把條件分爲兩部分，使每一個部分變成未知點的一條軌跡；而每一條軌跡必須是一條直線或者是一個圓。［
2、例題1］已知一三角形ABC，求作此三角形的內切圓。簡化問題：已知：三角形的三個邊，AB,BC,CA。未知：一個點X。條件：X點到AB,BC,CA三邊的距離相等。做法：⑴將條件分成兩部分第一部份：X到AB,BC的距離相等=＞滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。(直線AB,BC的角平分線)第二部分：X到AB,CA的距離相等=＞滿足第一條件的軌跡是兩條互相垂直的直線。(直線AB,CA的角平分線)(2)滿足上述兩個條件的軌跡有四個交點，而X爲其中一個。(練習1)三等份一給定三角形的面積，即在給定AABC內求一點X，使得4XAB、AXBC、AXCA
3、面積相等。簡化問題：已知：未知：條件：做法：(1)若從AXAB=AXBC出發，則X會落在若從AXBOAXCA出發，則X會落在(2)若從AXAB=
4、AABC出發，則X會落在若從axbc=
5、aabc出發，則X會落在由⑴⑵出發'可找到不一樣的做法嗎？(練習2)已知P爲直線L上一點，A爲L外一點，求作一圓通過A點且與L相切於P點o已知：未知：條件：作法：A。(A)相似形模式：模式的敘述：當我們一下子求不出欲求的圖形，考慮能否做出與所求圖形相似的圖形，藉此再求得所耍的圖形。［例題2］在一個給定的AABC中作一內接正方形，此正方形的兩個頂點在AB上，一個
6、在AC上‘一個在BC上。已知：AABC未知：正方形r條件：正方形的兩個頂點在AB上，一個在AC上，一個在BC上。做法：(1)減弱一個條件'正方形一個頂點不用落在BC(2)減弱條件之後'可做出多個相似的正方形。(3)觀察這些相似正方形的頂點，這些頂點共線£⑷所求的正方形，其頂點要在BC邊上，故此直線與BC的交點即爲所求正方形的一個頂點，其餘個頂點，亦可順序做出來。(練習3)給定ZACB，作一直線交CA於X點，CB於Y點，使得AX二XY二YB。假設問題已知解決了！如圖。/(1)作YZ//XA且YZ=XA。/(2)AXYZ爲菱形且4BYZ爲等腰三角
7、形。Z_⑶如果可做出Z，則可由Z求Y。雖然無法求出ABYZ，不過卻知道它的形狀，我們試著作一個與之Z'—相似的三角形。(1)我們不知道Y的位置，不過倒著作'先在BC上任取一點Yz，假設V是我們欲求的Y點，反過來去求類似Z點的Z，，即作直線Yzz7/CA，使得YZ二Y’B。(2図點取定之後，如何在AB上找一個類似A點的點A，呢？做法：/(1)A，點取定之後，四邊形BYZA與BY'ZW厶是相似的圖形，女口何由才點在去求Z點呢？做法：(練習4)給定一個三角形的三個高ha,灯，求作此三角形。已知：未知條件：做法：(A)輔助圖形模式：模式的敘述：設法
8、發現圖形的一部份或與之密切相關的某個圖形'它是能否做出欲求的圖形的一塊踏腳石。我們應該注意尋找那些容易從所求的圖形中分出來的圖形'而且應該尋找極端情況，運用類比法或變化已知量等等，引出輔助圖形。［例題3］做兩個已知圓的公切線。已知量：兩個相離的圓。未矢口量：兩組公切線°做法：以外公切線爲例⑴尋找輔助問題的方H變化已知量：即變化兩圓的半徑大小。找極端的情形：有一個圓變成一點。(2)當兩圓的半徑同時縮小，而有一圓縮成一個點時，想一想這樣變化的過程中，每一條外公切線都在移動著，但是整個移動過程，它們始終都是平行的。(3)將圓外一點作圓的切線當作是輔
9、助問題'根據(2)的結果，就可得出(練習5)給定一直線L，與線外兩點A,B，A,B兩點
10、司側且AB不平行L，求作與直線L相切且通過A,B的圓。已知：直線L與線外同側的兩點A,B未知：圓條件：此圓與直線L相切且通過A,B兩點。做法：(1)輔助問題：給定不共線三點，就可決定一個圓。故我們想去尋找在L上圓的切點T。(2)假設圓已做成了，設P點爲直線與直線AB的交點，根據切割線定理(PT)2=PAPB，我們可藉由PT來求T點的位置。⑶如何求出PT呢？以上我們列出了能用以處理幾何•作圖問題的三種不同的模式。輔助圖形模式比起相似形模式來，給我們以更多的選
11、擇機會，但是他的日標不太確定。雙軌跡模式是最簡單的一你可以首先試試看'因爲在大多數情況下最好先從簡單的試起。但不耍把自己束縛住，要保持開闊的思路：把問題當作是已解決
