数学思想方法在数列教学中的运用

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1、数学思想方法在数列教学中的运用【摘要】数列与函数可以看作是特殊与一般的关系，正是二者之间的这种关系，使得函数思想方法成为了解决数列问题的一种重耍思想方法。数列是高中数学的重点和难点，作为数学教师，应明确能够有效解决数列问题的数学思想方法，在教学过程中引导学生采用适当的数学思想方法解决数列问题，让学生能够熟练运用数学思想方法解决数列问题。教学过程屮应重视学生数学思想方法的运用。本文对一些适用于数列的思想方法做了简耍的分析和总结。【关键词】数学思想方法数列教学【中图分类号1G633.6【文献标识码】A【文章编号12095-3089(2013)1

2、1-0156-01一、刖盲数学思想是将知识与能力联系在一起的纽带，是解数学题过程中所遵循的指导思想。数学思想运用的止确与否，决定了解题过程的繁简程度。数列是高中数学的一个重点，与其相关的解题过程蕴含肴多种数学思想方法，正确的数学思想方法往往使得i些数列难题迎刃而解。而且数列是高考数学的难点，阻碍着许多学生的数学成绩进一步提升。所以，作为高中数学教师，要充分的挖掘与数列相关的数学思想方法，并教授学生如何运用数学思想方法解决数列难题，帮助学生提高解决数列问题的能力。笔者结合多年数学教学经验，对适应数列教学的数学思想方法进行了分析和总结，现简要概

3、括如下：二、数列教学中常用的数学思想方法1.函数的思想方法数列与函数可以看作是特殊与一般的关系，正是二者之间的这种关系，使得函数思想方法成为了解决数列问题的一种重要思想方法。在数列知识内容的讲授过程中，我们可以将数列作为函数的一种特值，采用所熟悉的函数方法来处理数列问题。通过运用相关的函数思想，可以研究等比数列和等差数列的性质关系，也可以研究数列的最值和单调性问题。例如：已知等差数列{an},其首项为al(al>0),前n项和Sn,满足Sx=Sy(xHy)。求Sx+y,前几项和最大？根据等差数列的性质我们可以将等差数列看作一次函数，前n项和

4、看作是二次函数。即an=an+b(a=bHO),Sn=An2+Bn(a=bHO)。所以，根据题意屮的Sx二Sy,我们可以根据二次函数列出Ax2+Bx二Ay2+By,整理后即可得出:(x-y)[A(x+y)+B]二0,所以A(x+y)+B二0,所以Sx+y二A(x+y)2+B(x+y)=(x+y)[A(x+y)+B]二0。在求前几项和最大时，同样釆用二次函数，列出函数S(x)二Ax2+Bx(A<0),由于S(0)二0,Sx+y二0,所以S(x)是X二■以为对称轴的函数，所以我们可以根据二次函数的图像性质得出当x,y为一奇一偶时，前■、■项和最

5、大，当x,y为同奇或同偶时,前■项和最人。除上述函数思想方法以外，还可以通过函数的观点研究数列的周期性，也可以研究数列之间的相互转化，教师应熟练把握函数思想在解决数列问题上的应用，并帮助学生熟练运用函数思想解决数列问题。2.分类讨论的思想方法分类讨论法主要使用于在整个论域内无法解决问题的题型，这种情况下，往往按照解题要求将整个论域划分为几个小的论域，然后在每个论域下分别解题。在数列的相关题型中，有一些题型需要分类讨论解题，采用分类讨论的思想方法，可以简化一些数列问题。例如：已知数列｛an｝的前n项和为Sn=32-n2,求数列｛

6、an

7、｝的前

8、n项和F。在这一题屮，可知al=sl=31,所以当n^2时，可以根据公式an=Sn-Sn-l求出数列an的解析式，即an=-2n+33；然后根据数列的解析式可以看出数列｛an｝是以31为首项，-2为公差的等差数列，所以其Sn会随n的逐渐增加会先增加后减少。所以要分开讨论，讨论的依据就是数列｛an｝是否为正数。所以根据-2门-3320可得出nW16.5,所以当nW16时,an为正数，所以当n^l6时，em为负数，即n二16确定为要讨论的点。然后就可以根据等差数列的前n项和确定Fn03•类比推理的思想方法在高中数学中，类比推理是解决数学问题的重

9、要手段，一些数列问题,采用类比方法也会得到比较显著的效果。所谓类比推理，就是通过比较和分析，发现不同式子或概念之间的共有关系，进而达到解题的目的。例如等比数列和等差数列之间的类比，可以通过等比数列的性质：如果p+q=m+n,则bpbq=bmbn,类比出等差数列如果p+q二m+n,则bp+bq二bm+bn。因为通过类比不难发现，将等比数列的公比q换成等差数列的公差d,并将“乘除”换成“加减”，就可以根据等比数列的性质类比等差数列的性质。除此之外，还可以根据等比数列和等差数列概念、定理进行相互类比。而且，近几年的高考及各地的模拟试卷中出现了多次

10、数列类比推理问题，可见，类比推理已成为数列问题的考察重点。所以，作为数学教师，在讲授与类比推理相关的问题时，应重视学生这一独特思维方式的培养，锻炼学生采用类比推理思想解题的能力。