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《中考数学复习指导：一道《相似三角形判定和性质》试题的解法赏析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、题目如图1,在AABC中，D是BC±的一点,一道《相似三角形判定和性质》试题的解法赏析4DAnE是AD±一点，且——=,ZBAD=ZECA.ACCE(1)求证：AC2=BC・D；图1(2)若E是AABC的重心，求AC?：AD?的值.本题第(1)小题的设计是考查学生对相似三角形判定和性质的掌握情况，同吋也为学生解决第(2)小题搭建了一个“脚手架”，第(2)小题强化了已知条件，适度提高论证难度，考查学生儿何逻辑推理的能力，由试卷分析来看，学生习惯从“由因导果”的方法即综合法入手，但由于没有挖掘到己知条件中的隐含条件，从而无法对题干中的己知条件进行有效梳理，一时难以将己知条件
2、与未知条件联系起來；由分析法人手又找不到解决问题的切入口.然而，让我们感到欣喜的是从学生的试卷中发现了超出教师预想的“奇思妙解”.下面采撷部分学生的解题方法作简要分析.2.解题方法与分析(1)借助中间量解法1(1)根据题意，易证ABADsAACE,进而可得△ABCs^DAC.(2)vZADs“ACE,・•.ABDA=LAEC,・•.乙CDE二乙CED,CD=CE.TE是5ABC的重心，2BC=2BD二2CD.AE=^ADAC2二BC•CD=2CD2.•••5BADsA4C£,第(1)小题根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理判定两个三角形相似，由相似
3、三角形的对应边成比例，进而将比例式化为等积式.这样，在解第⑵小题时只要求出关于AD?的一个等式，使得AC?和AD?都用含有相同量的式子表示，因此在这个解法中“CD”成为联系AC?和AD?的中间量，此解法属于通性通法.很多同学2忽略了“E是AABC的重心”这个己知条件中的隐含条件，只是想到“AE=-AD^却3忽略了重心是三角形三条中线的交点，没有挖掘到“BD=CD”这个隐含条件，影响了解题.解法2(2)由厶BAD^AACE,易证△ABCsADAC,BD•BCACTABADs12••・BD二*BC,AE二令4D,AB■__3BC*AC~一4/1DAB•_一_3AC••BC一
4、4AD'①X②,%4"3，AR解法2从两组相似三角形入手，寻找与AC、AD相关联的比例式，借助中间量“丝”BC作为解决问题的桥梁，从而达到求AC2：AD?的比值的目标，同样是借助中间量解决问题,但解法2较解法1的解法更简捷，体现了学生思维的灵活性.(2)利用转化思想解法3(2)VE是厶ABC的重心,SMCE2■——■S-3•QMAD亠乂AACE5SqACE/9(tAD=(i)、2△BAD，22••CD?-寻5供又力*C・C"2Cr.篇岭解法3根据所求的问题是两个线段的平方比，且题中含有相似三角形，因此联想到相似三角形的性质.同时，从三角形的面积角度考虑问题的常见方法还有
5、：同(等)底的三角形的面积比等于髙Z比；同(等)高的三角形的面积比等于底Z比.这样，将求两条线段的平方比的问题转化为两个三角形面积比的问题求解•思路清晰，简单明了.(3)构造相似基本图形解法4(2)如图2,延长AD到点F,使DF=AD.由BD=CD,则MBD竺AFCD,・•・厶BAD=乙F,.・.厶F二乙ECA.又乙EAC=乙EAC,・・・MECs^ACF,AC2=AE・AF.2乂AE=yAD,:.AC2=^-AD・2AD=判°233'AC24■一•・——•-AD2'3-解法4通过添设辅助线，将图中原有的两组相似三角形转化为一组常见的、有一组公共角的相似三角形，将分散的
6、已知条件集中在这组相似三角形中，再充分利用“E是AABC的重心”这个条件，将相似比转化为与所求问题相关的线段比，成为联系已知条件和所求问题Z间的桥梁.解法5如图3,过点D作DF〃AC,交AB于点F.则由题意可知，DF是ZABC的屮位线..•・DF=—-AC,且厶FDA=乙DAC.又厶BAD=乙ECA,・•・△AFQs△册,.・・餡二经ACAEAD=T"AC24图5解法5通过添设三角形的中位线，构造岀一组相似三角形，并且寻找含有AC、AD及与它们相关的对应边的比，借助“中位线”及“重心”这两个关键的条件，将比例线段都转化为只含有“AC”、“AD”这两个量的等式，从而经过
7、等式变形得出结论.类比解法5,又可以得到解法6、解法7,其添加辅助线的方法如图4、图5,具体解法不再赘述.
