高考数学(江苏专用)大一轮复习第十章附加考查部分2第2讲空间向量与立体几何刷好题练能力(文科)

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1、第2讲空间向量与立体几何1.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，求异面直线BC1与AE所成角的余弦值．解：建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)．→BC1＝(－1，0，2)，AE→＝(－1，2，1)，→→1cos〈B→C，→AE〉＝BC1·AE＝30.→→10

2、BC1

3、·

4、AE

5、所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.1.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱

6、AB、BB1的中点，求直线EF和BC1所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则→EF＝(0，－1，1)，B→C1＝(2，0，2)，所以→EF·B→C1＝2，1，所以cos〈→EF，B→C〉＝2＝12×222所以直线EF和BC1所成角为60°.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E1，0，12

7、D(0，1，0)，，所以A→D＝(0，1，－1)，A→E＝1，0，－1，112设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，y－z＝0，则1所以1－2z＝0，y＝2，z＝2.所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，223所以cos〈n1，n2〉＝3×1＝.2故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.32.如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平

8、面AB1C.证明：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)、D1(0，0，2)，所以O→D1＝(－1，－1，2)，又点B(2，2，0)，M(1，1，2)，所以→BM＝(－1，－1，2)，所以O→D1＝→BM，又因为OD1与BM不共线，所以OD1∥BM.又OD1?平面D1AC，BM?平面D1AC，所以BM∥平面D1AC.→→→→(2)连结OB1，因为OD1·OB1＝(－1，－1，2)·(1，1，2)＝0，OD1·AC＝(－1，－1，2)·(－2，2，0)＝0，111所以O→D⊥O→B，O→D⊥→AC，即OD1⊥OB1，

9、OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，所以D1O⊥平面AB1C.1.(2019·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小．解：(1)证明：以点C为原点，{→→→}为正交基底，建立空间直角坐标系C-xyz，CB，CA，CC1如图所示，则B(1，0，0)，A(0，3，0)，6A1(0，3，6)，M0，0，2.1所以A→B＝(1，－3，－6)，→＝0，－3，6.AM2→→6因为A1B·AM＝1×0＋(－3)×

10、(－3)＋(－6)×所以A1B⊥AM.(2)易知BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC.2＝0，CBCB所以→是平面AMC的一个法向量，→＝(1，0，0)．设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，→BA＝(－1，3，0)，→BM＝－1，0，6.2n·→BA＝0，－x＋3y＝0，由得n·→BM＝0，6－x＋2z＝0.CB令z＝2，得x＝6，y＝2，所以n＝(6，2，2)．因为

11、→

12、＝1，

13、n

14、＝23，所以cos〈→CB，n〉＝

15、→CB·n2＝.→CB

16、

17、n

18、2因此二面角B-AM-C的大小为45°.6．(2019·常州检测)如图，PA⊥

19、平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．(1)求证：AE⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-D的余弦值．解：(1)证明：分别以{→，→，→}为正交基底，建立如图所示ABADAP的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E11，0，；22→11→→所以AE＝，0，22，BC＝(0，1，0)，BP＝(－1，0，1)；因为→AE·→BC＝0，→AE·→BP＝0，所以即AE⊥BC，AE⊥BP.→AE⊥B→C，→AE⊥→BP，而B

20、C、BP?平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC.(2)设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，而→CD＝(