（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 附加考查部分 4 第4讲 数学归纳法刷好题练能力 文

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1、第4讲数学归纳法1．求证：12＋22＋…＋n2＝(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝，则当n＝k＋1时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2＝，所以当n＝k＋1时，等式仍然成立．由(1)(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．2．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k

2、≥1)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1＝k[4(k＋1)2－1]－k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1＝k[4(k＋1)2－1]＋(12k2＋12k＋3－8k2－4k)＝k[4(k＋1)2－1]＋[4(k＋1)2－1]＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式都成立．3．设0

3、，求证：对任意n∈N*，有11，又a1＝1＋a<，显然命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，命题成立，即1

4、时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，所以ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，由(1)(2)知，对任意n∈N*原命题成立．5．(2019·

5、江苏省重点中学领航高考冲刺卷(三))已知无穷数列{an}满足ai∈N*，且ai≤ai＋1(i∈N*)，记bk＝min{n

6、an≥k}(k∈N*)，其中min{n

7、an≥k}表示集合{n

8、an≥k}中最小的数．(1)若数列{an}：1，3，5，7，…，请写出b1，b2，ba2；(2)若Tn＝a1＋a2＋…＋an＋b1＋b2＋…＋ban，求证：Tn＝(n＋1)an.解：(1)由条件可知，满足an≥1的最小整数n＝1，即b1＝1，满足an≥2的最小整数n＝2，即b2＝2，满足an≥3的最小整数n＝2，即ba2＝b3＝2.(2)证明：①当n＝1时，由题意得，a1

9、≥1，b1＝1，…，ba1＝1，故T1＝a1＋a1＝2a1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即Tk＝(k＋1)ak，当n＝k＋1时，若ak＋1＝ak，则Tk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋b1＋b2＋…＋bak＋1＝(k＋1)ak＋ak＋1＝(k＋2)ak＋1.若ak＋1>ak，则Tk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋b1＋b2＋…＋bak＋1＝Tk＋ak＋1＋bak＋1＋bak＋2＋…＋bak＋1＝(k＋1)ak＋ak＋1＋(k＋1)＋(k＋1)＋…＋(k＋1)(其中k＋1共有ak＋1－ak项)＝(k＋1)ak＋ak＋1＋(k＋1)(a

10、k＋1－ak)＝(k＋2)ak＋1.综合①②可知，Tn＝(n＋1)an.6．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1，2，3，….(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{an}的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n∈N*，有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5，由此猜想{an}的一个通项公式：an＝n＋1(n∈N*)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．当n＝2时，a2＝a－a1

11、＋1＝＋.当a1≥3时，a2≥9－3＋1＝7>2＋2.②假设当n＝k(k≥2，k