高考数学(江苏专用)大一轮复习第十章附加考查部分6第6讲矩阵与变换刷好题练能力(文科)

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1、第6讲矩阵与变换1a21．(2019·扬州期中)已知矩阵A＝，属于特征值4的一个特征向量为)，求b232A.1a222＋3a＝8，a＝2，解：由条件，)＝4)，所以解得b2332b＋6＝12，b＝3，12276所以A＝，所以A＝.329102．(2019·江苏省四校联考)二阶矩阵A有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e1＝，并且矩阵A对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A.1Ae＝6e，ab解：设所求二阶矩阵A＝，则18cdA＝，24a＋b6a＋b＝6，c＝，c＋d6＋d＝6，a所以所以a＋2b8＋2b＝8，c＝，

2、c＋2d4＋2d＝4，42解方程组得A＝.8－2a13．已知矩阵M＝，点A(1，0)在矩阵M对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵b0－1M的逆矩阵M.a111解：因为＝，所以a＝1，b＝2.b0021011－12所以M＝，所以M＝.2011－24．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(九))在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，12x－15)在矩阵M＝对应的变换下得到点Q(y－2，y)，求M.34y12xy－2解：依题意，＝，345yx＋10＝y－2，x＝－4，即解得3x＋20＝y，y＝8.－2112－1由逆矩阵公式知，矩

3、阵M＝的逆矩阵M＝31，34－22－21x－416－1所以M＝31＝.y－8－102211005．(2019·镇江模拟)已知矩阵M＝，N＝2，试求曲线y＝sinx在矩阵MN0201变换下的函数解析式．111000解：MN＝2＝2，020102即在矩阵MN变换下11xx′0xx→＝2＝2，yy′y022y1x′＝x，y′＝2y，21代入得：y′＝sin2x′，2即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x.－16．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))已知矩阵M的逆矩阵是M＝13－44x5，向量α＝，β

4、＝，若Mα＝β，求x＋y的值．112y－22ab10－1解：设矩阵M＝，则由MM＝，cd0113－44ab10可得＝，11cd01－2213－a＋c＝14413a＝2－b＋d＝044b＝323所以，解得，所以M＝.11c＝221a－c＝022d＝111b－d＝12223x5由Mα＝β，得＝，212y12x＋6＝5x＝－1即，解得2，则x＋y＝.2x＋2＝y2y＝111017．(2019·南京六校联考)已知矩阵A＝，B＝2.若矩阵AB对应的变换把0201直线l：x＋y－2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．1101解：因为A＝，B＝

5、2，0201111011所以AB＝2＝2.020102在直线l′上任取一点P(x，y)，它是由l上的点P0(x0，y0)经矩阵AB所对应的变换所得，则一方面，因为点P0(x0，y0)在直线l：x＋y－2＝0上，所以x0＋y0－2＝0.①1x0x1x0xAB)＝)，即2)＝)，y0yy0y021x0＋y0＝x，所以22y0＝y，1x0＝x－y，4所以②1y0＝y，211将②代入①得x－y＋y－2＝0，即4x＋y－8＝0，42所以直线l′的方程为4x＋y－8＝0.1300－138．(2019·南京、盐城模拟)已知矩阵A＝，A的逆矩阵A

6、＝.2ab1(1)求a，b的值；(2)求A的特征值．110a＝1，30010－13解：(1)因为AA＝＝2＝.所以22a＋aba01＋ab＝0.b1332解得a＝1，b＝－.330(2)由(1)得A＝，21λ－30则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)(λ－1)．－2λ－1令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3.19．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的1变换将点(－1，2)变换成(－2，4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3

7、)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M对应的变换作用下的直线l′的方程．abab118解：(1)设M＝，则＝8＝，cdcd118a＋b＝8，ab－1－2－a＋2b＝－2，故＝，故c＋d＝8.cd24－c＋2d＝4.联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，62故M＝.44(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为λ－6－22f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ－10λ＋16，故其另一个特征值为λ－4λ－4x6x＋2yx＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.y4x＋4yy(3)设点(x，y)

8、是直线l上的任一点，其在矩阵M对应的变换作用下得到的点的坐标为(x′，y′)，62xx′则＝，44yy′1113即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，4848即x－y＋2＝0.