江苏专用2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分2第2讲空间向量与立体几何刷好题练能力文

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1、第2讲空间向量与立体几何1．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，求异面直线BC1与AE所成角的余弦值．解：建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)．＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.2．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，求直线EF和BC1所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系．设A

2、B＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，所以·＝2，所以cos〈，〉＝＝，所以直线EF和BC1所成角为60°.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，求平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以＝(0，1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法

3、向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.4．如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C.证明：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)、D1(0，0，)，所以＝(－1，－1，)，又点B(2，2，0)，M(1，1，)，所以＝(－1，－1，)，所以＝，又因为OD1与BM不共线，所以OD1∥BM.

4、又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，所以BM∥平面D1AC.(2)连结OB1，因为·＝(－1，－1，)·(1，1，)＝0，·＝(－1，－1，)·(－2，2，0)＝0，所以⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，所以D1O⊥平面AB1C.5.(2019·盐城模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角BAMC的平面角的大小．解：(1)证明：以点C为原点，{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所

5、示，则B(1，0，0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M.所以＝(1，－，－)，＝.因为·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM.(2)易知BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC.所以是平面AMC的一个法向量，＝(1，0，0)．设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，＝(－1，，0)，＝.由得令z＝2，得x＝，y＝，所以n＝(，，2)．因为

6、

7、＝1，

8、n

9、＝2，所以cos〈，n〉＝＝.因此二面角BAMC的大小为45°.6．(2019·常州检测)如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1

10、，AD＝3，E是PB的中点．(1)求证：AE⊥平面PBC；(2)求二面角BPCD的余弦值．解：(1)证明：分别以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E；所以＝，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)；因为·＝0，·＝0，所以⊥，⊥，即AE⊥BC，AE⊥BP.而BC、BP⊂平面PBC，且BC∩BP＝B，所以AE⊥平面PBC.(2)设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，而＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，则由⇒⇒取y＝1，则x＝2，z＝

11、3，即n＝(2，1，3)．又由(1)AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量，而＝，所以cos〈，n〉＝＝＝，故由图形可知二面角BPCD的余弦值为－.7．(2019·苏州三校质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且＝λ.(1)若λ＝1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，O，C(0，1，0)，D1(0，0，1)．因为λ＝1，则E，所以＝，＝(0，－1，1)．因为c

12、os〈，〉＝＝，所以异面直线DE与CD1所成的角的余弦值为.(2)设平面CD1O的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)．由得解得取x1＝1得y1＝z1