中学数学研究(代数部分)考试试题A参考答案及评分标准

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1、贵州师范大学2007-2008学年度第一学期《中学数学研究》课程期终考试试卷（A卷；闭卷）（代数部分）参考答案及评分标准一、（12分）（1）（8分）请给出两种不同的方法证明血不是有理数？⑵（4分）数学发展历史上是如何发现无理数的？这一发现在数系扩展中有何价值？解：⑴证法1（奇偶数判别，导致矛盾）2设血是一个有理数x,即x2=2,且兀可表示为既约分数于是存=2,即nrTm2=2n因此加2是偶数，由于奇数的平方不能等于偶数，故加是偶数。所以设m=2k,则2n2=m2=（2k）2=4k2,故n2=2k2,从而斤也是偶数，这与（myn）=1矛盾，这说明血不是有理数。证法2若兀2=2

2、,.且兀表示为既约分数纟。将分解为素因数Z积，由于a2=2b2f则/的素因b了必定成对出现，而2庆的素因了中2出现奇数次，矛盾。证法3若/=2,且兀表示为既约分数兰。因为a2=2b2,故"可整除但（°,方）=1,故b=l,b所以。2=2,由此得1

3、明又说三角式的概念并不依赖于几何解释？⑶（2分）上述问题的探析对你有何启示？解：⑴初屮通过直角三角形给出三角函数定义。其依据是欧氏儿何的相似性理论，通过三角形中边角关系(即边长的比值)定义锐角三角函数(图略)；3分高中则借助于直角处标系和单位圆定义三角函数(图略)，因而正、余弦既可以看作一个比值,也可用有向线段表示。6分(2)X2nH+•••(%eR)⑵2)!严I丫246C(x)=l-—+—-—+•••+(-])2!4!6!V73575(%)=--—+-丄+・・・+(_1)"+…(兀丘/?)1!3!5!7!'丿⑵2+1)!(n=0,1,2,..-)分别称为解析余弦和解析止弦。

4、可以证明C(x)=cos兀,S(兀)=sinx即根据解析正弦和解析余弦所具备的某些性质便可推导出sinx和cosx所具备的一切性质和运算关系，而不必依赖于儿何性质的讨论。5分⑶略三、(12分)已知函数于(兀)=2一丄，将y=/(x)的图像向右平移两个单位，得到函数尸g&),而函数)yhM与函数y=g(x)的图像关于直线X=1对称。(1)(5分)求函数y=h(x)的解析式；⑵(7分)设F(x)=—/(x)+/?(%),又已知F(x)的最小值是加，且血＞2+",求实数aa的取值范围。解：⑴设g(x)=/(兀_2)=令_穿2分设戶(兀,刃是〉=加兀)图像上的任意一点，则点P关于y=

5、l的对称点P(x,2-y)在y=g(x)上。T4arri,”、小T4a故2-y=，所以y=h(x)=2+—42X42V⑵・・・FM=（--丄］2”+（4d—1）2_A+234丿2分由于〔丄_丄］（也_1）=（4_0）（滋_1）,故分为以下四种情况讨论a的収值范围：Ia4丿4°①当avO时，4d—lvO,所以F（%）<2,与F（x）>/??>2+V7矛盾；②当00,4a—1〉0。由均值不等式F（x）>2J（4a—1）+2,4a44丿（1］、当且仅当2X=（4a-l）2

6、~x时等号成立。I。4丿由m>2+V7,及丄VdV4得，—

7、=3吋，S=2+4+6；以此类推，町知S即为一个首相为2,公差为2的等差数列的前50项的和，由等差数列求和公式可得。所以S的最终值是2550o5分