中学数学研究(代数部分)习题库

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1、习题1.求适合的一切集合，以及他们基数的和。解：它们的基数和为：。习题2.用自然数序数理论证明：（1），（2）证：（1）（2）又习题3.对任何自然数，证明：（1），（2）证：有定3中的（1），，由（2），；同理，。证毕习题4.设，求证：（1）（2）（3）证：（1）（交换律）（性质（2））又（交换律）；（2）；（3）证毕习题5.证明证：设，则37原式变为证，即由乘法对加法的分配律原式成立，即成立。证毕习题6.设把的元素按照从小到大的顺序写出来。解：由集合的性质，必有或之一成立，即中的元素有或之一种顺序关系。习题7.设，求证证：时，成立设时，成立当时，由假设，，即成立

2、。由数学归纳法，对一切成立。习题8.已知时定义在上，又在上取值的函数，并且（1），37（2）对任何，有；（3）当时，。求证：在上恒成立。证：当时，由，即，在时成立。设时成立。当时，由（3）又取值为自然数，当时，而，即对一切，成立。证毕习题9.已知时定义在上的函数，且，，求证：证：成立设当时，均成立。当时，，由归纳假设，有即成立。由归纳法，对一切，成立。证毕37习题10.已知单面内两两相交的个圆中，每三个都不共点，求证：这个圆把他们所在的平面分成个部分。证：设时，平面被分成个部分，由上述规律时，由归纳法，一切，所证命题成立。习题11.设三角形三条边都为自然数，最大边

3、长为11，问这样的三角形共有多少个？若最大边为呢（）？解：由构成三角形的充要条件：“两边之和大于第三边”知:设为三角形的另外两边，则满足这一条件的三角形有种，若最大边为，由上理推知，满足条件的三角形有个习题12.把个互不相等的自然数任意排成一个方阵，取每行的最大数组个数，设其中最小的一个是，再取每列的最小数又组个数，设其中最大的一个是，试比较与的大小。37解：设则如果时，当不同时成立时，由，的取法知：，即，的大小可能有两种情况，即，或。习题13.设，，分别写出与的元素解：的元素01即.的元素01即习题14.设，给定中的关系，问具有哪些性质？答：关系具有对称性。习题

4、15.在具有个元素的有限集合中，可以定义多种不同的等价关系？设这个元素构成的集合是，则有多少种不同的分类方法就能定义多少种不同的等价关系，具体数字待进一步求出。37习题16.写出模5同余环的加法与乘法表解：加法表乘法表+[0][1][2][3][4][0][0][1][2][3][4][1][1][2][3][4][0][2][2][3][4][0][1][3][3][4][0][1][2][4][4][0][1][2][3]+[0][1][2][3][4][0][0][0][0][0][0][1][0][1][2][3][4][2][0][2][4][1][3]

5、[3][0][3][1][4][2][4][0][4][3][2][1]习题17.试在有理数集上定义一个异于大小关系的顺序关系？解：有理数集在中按如下方式定义一个关系：①把分类：对于有理数，令（叫做有理数的模）。模相等的有理数属于同一类。同一类的有理数定义为同一个元。即中定义相等关系为：。②在中定义关系，当且仅当时，则关系是一个偏序关系，（其中符号“”是通常意义下的小于或等于关系）。关系异于中大小关系。③证明②中定义的关系是中的偏序关系且异于中的大小关系先证明：是偏序关系：37i，其模为，故自反性成立。ii若，其模分别为。若，，则由定义知，且，。说明反对称性成立；

6、iii若，它们的模分别为，，说明传递性成立。由i，ii，iii知，R是Q中的一个偏序关系。关于R是异于Q中大小关系的，这一点显然。[毕]习题18..设={甲，乙，丙，丁}，，试求：<1>到的映射有多少种？<2>到的满射有多少种？解：<1>由映射的定义，因中有三个元素，每个元素的原象都有四种取法，这样的允许重排列有＝81种，而每一种排列中元素都构成映射，故到有81种映射。<2>在种任取两个元与中的某一个元对应后剩下的元一个对一个，这样得到的映射就是到的满射，其他的不再是，而这样的取法有种，到的满射是（种）。答略。习题19.设,,试构造一个从到的满射，并加以证明，然后

7、进一步考虑所构造的映射是不是从到的一个一一映射，若不是，为什么？若是，作出证明。解：①先建立到（－1，1）的一一映射：；②建立（－1，1）到的一一映射：（－1，1）中的有理数构成的集是可列集，故可将之列罗：满足：（37是上面所列的（-1，1）中的有理数）若是（－1，1）间的无理数时，。③令，则是到的一一映射，（显然是满射）。证明：：是到（－1，1）的严格单调递增函数，是到（－1，1）间的一一对应。又由的定义知，是（－1，1）到的一一对应，即是到的一一映射，当然是满射。习题20.设,,试构造一个从到的满射，并证明。解：把整数集分成模4的剩余集，，，，（是任意整数）构

8、造映射,,