几何概型概率求解策略

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1、几何概型概率求解策略右图所示，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点。因此事件r是始于R线段的左端6犯蘿N话1

2、7点几长度为一+匚二一的事件。因此,p（r）=263厂的而积/?的面积3=230900.02o例3.假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车［时间不超过3分钟的概率？解：以两班车出发间隔（0,10）区间作为样本空间S,乘客随机地到达，即在这个长度是10的区间里任何一个点都是->10等可能地发生，因此是儿何概率问题。要使得等车的时间不

3、超过3分钟，即到达的时刻应该是图中A包含的样本点，=0.3。例4・如右图所示，在ABC屮，ZB=60°,ZC=45°,高AQ二命。在ABAC内作射线AM交〃C于M点,求<1的概率。误解:在RtADB和RrADC中，AD=*,ZB=60°,ZC=45°BD=AD..=V3x—=1,DC=V3tan60°3.•・P(BM<1)=P(BM

4、由此得到的M点在BC上并不是等可能的。正解：以A点为起点作射线AM是随机的,且射线AM落在ABAC内的任何位置都是等可能的,故BMvl时,射线AM—定落在ABAD内，几射线AM落在ABAD内的概率只与ABAD大小冇关，符合几何槪型的条件，记事件AP(A)30°7?典例解析题型1:线长问题例1.一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率。分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其小每一个基本事件。每一个基本事件都与唯一一

5、个断点一一对应，故引例中的实验所对应的棊本事件组中的基本事件就•线段AB上的点一一对应，若把离绳AB首尾两端1的点记作M、N,则显然事件T所対应的基本事件所对应的点在线段MN上。解：P（T）=3/5o例2.（磁带问题）乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了卜來,联邦调杏局拿到磁带并发现其屮有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息然而示来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键,并从即刻起往后的所有内容都被榛掉了

6、试问如果这10秒钟长的谈话记录开始丁•磁带记录后的半分钟处，那么含冇犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多人？解析：将30分钟的磁带表示为长度为30的线段R,则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为「如二｛射线AM落在ZBADM在心ADB^WRtADC中，AD=羽,ZB=60°,ZC=45°/.ZBAC=75°,Z34D=30°例5.在边长为4的正方形ABCD中，现向该正方形内随机投一点P,求满足ZAPB>90°时的概率。丄T2?解：设A表示“点P落在正方形内使ZAPB>90°”则P（A）二一-—

7、=-428例6.在等腰三角形ABC中,ZB=ZC=30°,求下列事件的概率（1）在底边BC上任取一点P,使BP

8、B”为事件BP(B)ZBAM_75°_5ABAC~1207_8说明:本题第一问中的事件的“测度”是长度,第二问中事件的“测度”是角度,因此就造成了背景相bd而概率不同这样的结局。例7.某人午觉醒來，发现表停了，他打开收音机,想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的吋刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻冇无限多个的，因而适合儿何概型。设A=｛等待的时间不多于10分钟｝.事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内事件A发生。解法一：（利用

9、利用［50,60］时间段所占的弧长人p（A）=朋f在扇形区域俪长=1.-=?法二：（利用［50,60］时间段所占的圆心角）:"(A)=砺倾IW庆小,x360°鵬角36（）°法三：（利用［50,60］时间段所占的而积）：p（A）=4所在扇形的而积整个圆的面积10_160~6法四：将时间转化成氏60的线段，研究事件A位于［50,60］Z间的线段的概率:0102030405060P(A)=60-5060儿何概型问题不仅