1.2函数的极值

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1、课题：函数的零点导学案知识清单：1.理解函数零点的概念。2.掌握求函数零点的方法。3.掌握零点存在定理及其应用。4.理解导函数的零点与函数的极值点的关系。5.理解与函数零点有关的拓展问题的处理方法。一、基本知识回顾1.函数的零点：对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在；零点存在定理只能处理变号的零点。3、函数单调性对零点个数

2、的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调。4、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，5、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数的零点所在的一个区间是（）A．（-12,0)B.(0，12)C.(

3、12,1)D.(1，32)强化训练1.函数fx=lnx-1+x的零点所在的大致区间是（）A．（1，32)B.(32，2)C.(2,e)D.(e，+∞)思路：先判断出函数f(x)的单调性，然后利用零点存在定理验证区间端点函数值的符号即可。强化训练2.函数fx=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数（）A.0B.1C.2D.3例2.若函数fx=2x-2-b有两个零点，则实数b的取值范围__________。小结：对于含有参数的函数的零点问题，可以考虑分离参数，把问题转化为一个新函数与一个常函数的交点个数问题

4、。强化训练3.设函数fx=ex+2x-4,gx=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点，则（）A.g(a)<0

5、数fnx=xn+x-1,(n≥2),证明：fnx在区间（12，1）内存在唯一零点。小结：求函数在某区间（a，b）上有唯一零点问题，对于变号的零点问题，首先验证fa∙fb<0解决有零点问题，其次要讨论函数的单调性，说明唯一性;对于不变号的零点问题，可以转化为函数的最小值等于零，注意最小值唯一。例4.(2018全国卷2,理21)已知函数f(x)=ex-ax2。(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.解法二：(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)

6、e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(ⅰ)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ⅱ)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,

7、+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在[0,+∞)的最小值.①若h(2)>0,即ae24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,ex>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.故h(x)在(2

8、,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e24.【小结】求函数的零点个数问题一般有三种处理方法;1.直接解方程；2.图像法3.应用零点存在定理，结合函数的草图（利用导函数求函数的单调区间极值画草图）判断函数的零点个数问题。4.对于两个函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题，可以转化为一个函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题处理。课后作业