1.2__函数的极值

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1、1.2函数的极值§1.函数的单调性与极值一、复习与引入:上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题.其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数;③解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.二、新课—函数的极值:如右图1，在包含x0的一个区间（a,b）内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值。如右图2，在包含x0的一个区间

2、（a,b）内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值。(图1)abx0(图2)abx0极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内其极大值或极小值可以不止一个.(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.(3)函数的极值

3、点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.★需要注意以下几点：(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4baxy(5)极值点处导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如f(x)=x3,f’(0)=0,但x=0不是极值点。如果函数y=f(x)在区间（a,x0）上是增加的，在区间（x0,b）上是减少的，则x0是极

4、大值点，f(x0)是极大值。如果函数y=f(x)在区间（a,x0）上是减少的，在区间（x0,b）上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值。抽象概括：oaX00bxyoaX0bxyx(a,x0)x0(x0,b)f′(x)+0-Y=f(x)增加↗极大值减少↘x(a,x0)x0(x0,b)f′(x)-0+Y=f(x)减少↘极小值增加↗解：函数的定义域是（－∞，+∞）。令解得x(-∞,-2)-2(-2,3)3(3,+∞)f’(x)Y=f(x)的极值点.例2.求函数当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:↗

5、-极大值↘↗极小值++00总结，求函数极值点的步骤如下：（1）求导数（2）求方程的根。（3）检查在方程的根左右的符号。极大值。极小值。若在根左侧附近为负，在根右侧附近为正，在根处取得若在根左侧附近为正，在根右侧附近为负，在根处取得若在根两侧的符号相同，则此根处不是极值点。解：函数的定义域是（－∞，+∞），令解得当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:xf’(x)Y=f(x)的极值点.例3.求函数++00-↗↗↘极大值极小值∴极大小值分别为作业：课本P623(2),(4)