函数的极值点与极值

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1、函数的极值点与极值1.已知函数.f(x)=x(xx-ax)有两个极值点，求实数a的取值范围。方法1:根据极值点与导函数的关系知：这个函数的导函数在定义域内穿过X轴两次，即fx)=Inx+1-2ax=0有两个不同的正解。令g(兀)=lnx+l—2ax,贝Ug'(x)=丄一2a,令g'(x)=丄一2d=0得无=丄，又定义域为xg(0,+oo),xx2a(1)当aSO时，恒有g'(x)nO,此时g(x)=lnx+1-2ox在xw(0,+co)单调递增，不可能穿过x轴两次，不成立。(2)当Q〉0时，g(x)

2、在XG(0,—)递增，在XG(—,4-00)递减，且X趋近于0与2a2aX趋近于正无穷时g(x)均趋近于负无穷，故要使g(x)有两个不同解，只需g(丄)2aq>0大于0即可，故J1,解得毗(0丄)In丄〉022a方法2：数形结合ff(x)=Inx+1-Zax=0有两个不同的正解，即y=Inx与歹=2ax一1在xg(0,+00)有两个不同的交点。设切点为(x0,y0),则切线方程是y-x{}=—(x-x0),它过点(0,-1),解得x0=1,即切线的斜率是1,故要使兀。>01他们有两个不同的交点，必须彳

3、=>0vqv—。2。v122.已知a为常数，函数/(%)=x(ln兀-ax)有两个极值点,x2(0,/(%2)>--C、/(再)>0,/(兀2)-

4、解析：由题意知/r(x)=lnx+l-2a¥=0有两个不同的正解，即y=lnx与y=2ax一1在0<0,/*(兀)递增;在(尢2

5、，+°°)上<0,/(Q递减；故/(%,)/(I)=-a>-^o选D3.函数/'(x)=x3+2bx24-ex+1两个极值点分别为兀],兀2且兀1€[-2,-1],x2G[1,2],求f(_1)的取值范围。答案[3,12]4.函数y=土+"X*""*"两个极值点分别为Xj,x2且£w(0,1),x2€(l,4-oo),32记分别以m,n为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D,若函=logw(x+4)(a>l)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为()A.

6、(1,3]B.(1,3)C.(3,+oo)D.[3,+oo)答案：B因为兰+亦+伽+心+1,所以，=宀愿*竺空。依题意知，方,=0•32^2,7?-4-H有两个根为,x2且兀]W(0,1),x2G(1,-K^O),构造函数f(x)=X2+HVC+,所以，彳，即彳，’••直线m+72=0,3加+“+2=0的交点坐标为[/(I)<0[3m+n+2<0(-1,1),二要使函数y=log“(x+4)(°〉1)的图象上存在区域D上的点，则必须满1>log“(-1+4),解得lvav3考点：利用导数研究函数的极值，二

7、元一次不等式(组)与平面区域。点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。5.设函数/(%)=x2+aln(%+1)有两个极值点若，兀(X]v兀2),⑴求实数d的取值范围；(0,-)2(1)讨论函数/(朗的单调性；⑶若对任意的xe(x(,4-00),都有/(x)>m成立，求实数加的取值范围.m<。(亦即3正明:/(2)>l-21n2解：(1)由/(x)=x2+aln(x+l)可得ff(x)=2x+—^―=+〉一］),X+lX+1

8、令g(x)=2F+2x+a(x>—l),故由题意可知兀］,%是方程g(兀)=0的两个均大于一1i“,［A=4-86/>01的不相等的买数根，所以彳=>0CdV—。［g(-l)=d〉o2(1)由⑵可知/(x)在区间(兀［4-oo)上的最小值为f(x2),又由于g(0)=a>0,因此a=一(2兀/+2x2),所以/(x2)=x22-(2x22+2x2)ln(x2+1),设/z(x)=x2~(2x2+2x)ln(x+l),一g

9、兀+l)ln(x+1).由—-/7(-—)=n,故实数加的取值范围m<4门。考点：导数的运用点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定，以及运用导数的知识来求解最值，属于中档题。qx

10、3.已知函数f{x)=2ax+x有两个极值点、分别为石，吃且兀丿2〉—，22(1)求实数a的取值范围M;(II)若