等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

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1、等差数列及其前n项和【考纲说明】1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3、体会等差数列与一次函数的关系.4、本部分在高考中占5-10分左右.【趣味链接】　高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当

2、他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。【知识梳理】一、等差数列的相关概念1、等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。2、等差中

3、项如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或推广：3、等差数列通项公式若等差数列的首项是，公差是，则．推广：，从而。4、等差数列的前项和公式等差数列的前项和的公式：①；②．5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系(数列的前n项的和为).二、等差数列的性质1、等差数列与函数的关系当公差时，(1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为；(2)前和是关于的二次函数且常数项为0。2、等差数列的增减性若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3、通项的关系当时,则有，特别地，当时，则有.注：4、

4、常见的等差数列（1）若、为等差数列，则都为等差数列。（2）若{}是等差数列，则，…也成等差数列。（3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。5、前n项和的性质设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.①当项数为偶数时，则②当项数为奇数时，则（其中是项数为的等差数列的中间项）6、求的最值（或求中正负分界项）（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.（2）①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当，由可得达到最大值时的值.②“首负”

5、的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.即当，由可得达到最小值时的值.三、等差数列的判定与证明1、等差数列的判定方法：（1）定义法：若或(常数)是等差数列；（2）等差中项：数列是等差数列；（3）数列是等差数列（其中是常数）；（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.2、等差数列的证明方法：定义法：若或(常数)是等差数列．【经典例题】【例1】（2006全国）设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13等于（）A.120B.105C.90D.75【解析】B【例2

6、】(2008重庆)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）A.4B.5C.6D.7【解析】C【例3】（2006全国Ⅰ）设是等差数列的前项和，若，则（）A．B．C．D．【解析】D【例4】（2012四川）设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（）A.0B.7C.14D.21【解析】D【例5】（2009湖南）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于()A．13B．35C．49D．63【解析】C【例6】（2009全国Ⅰ理）设等差数列的前项和为，若,则=.【解析】24【例7】（2009辽宁理）等差数列的前项和为，且则.

7、【解析】【例8】（2011福建）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，an=1+（n-1）×（-2）=3-2n；（II）由（I）可知an=3-2n，所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n-n2，进而由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又k∈N+，故

8、k=7为所求．【例9】（2010山东）已知等差数列满足：，，的前项和为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（），求数列的前项和为.【解析】（Ⅰ），（Ⅱ）【例10】（2010浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和Sn，满足S2S6＋15＝0.（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;