等差数列及其前n项和 经典习题

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1、中国品牌家教第28讲　等差数列及其前n项和一、基本概念1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．例1

2、：等差数列项的和等于？(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．（4）．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则()．A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5B．解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d＋12d2＞a1·a8．（5）．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根

3、组成一个首项为的等差数列，则｜m－n｜等于()．A．1B．C．D．4．C解析：解法1：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，5时老师成绩提升快乐在汇思维中国品牌家教∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．∴，分别为m或n，∴｜m－n｜＝，故选C．解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若g＋s

4、＝p＋q，则ag＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，∴m＝，n＝，∴｜m－n｜＝．5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝；若已知首项a1和公差d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.例2：(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．性质(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．例3：在等差数列中，若，则的值为？性质(2)S2n－1＝(2n－1)a

5、n.例4：两个等差数列则=___。例5：（辽宁）设是等差数列的前n项和，若。性质(3)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．例6：在等差数列中，公差，前项的和，则=。5时老师成绩提升快乐在汇思维中国品牌家教6．Sn的最值问题6.1求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．例7：设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．(2)利用等差数列的前n项和Sn＝A

6、n2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．例8.（2012浙江7）设是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的nN+，均有Sn＞0D．若对任意的nN+，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列练习（2013辽宁文理）下面是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为（A）（B）（C）（D）7.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(

7、2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．例9：已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式．5时老师成绩提升快乐在汇思维中国品牌家教课时作业(二十八)A　[第28讲　等差数列][时间：35分钟]1．[2011·江门调研]在等差数列{an}中，已知a1＝1，a2＋a4＝10，an＝

8、39，则n＝(　　)A．19B．20C．21D．222．[2011·武汉模拟]已知数列{an}是等差数列，若a1＋a5＋a9＝2π，则cos(a2＋a8)＝(　　)