二次函数—动点产生的线段最值问题典型 例题

二次函数—动点产生的线段最值问题典型 例题

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1、中考压轴题精选典型例题讲解二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图,在直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)点E是抛物线的对称轴上的一个动点,求当AE+CE最小时点E的坐标;(3)点P是x轴上的一个动点,求当PD+PC最小时点P的坐标;(4)点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有最大?并求出最大值.FE解:(1)设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,∵抛

2、物线经过A、B、C三点,∴,解得:,∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=,∴该抛物线的对称轴为直线x=1,顶点D的坐标为(1,4).(2)∵点A关于抛物线的对称轴的对称点为B,则AE=BE,要使AE+CE最小,即BE+CE最小,则B、E、C三点共线如图,连接BC交抛物线的对称轴于点E,解法一:设直线BC的解析式为y=kx+n,则,解得∴.当x=1时,,∴点E的坐标为(1,2)解法二:设抛物线的对称轴交x轴于点F.∵EF∥y轴,∴∠BEF=∠BCO,∠BFE=∠BOC∴△

3、BFE∽△BOC∴,∴,∴∴点E的坐标为(1,2)(3)作出点C关于x轴的对称点为C′,则C′(0,-3),OC′=3,第5页共5页中考压轴题精选典型例题讲解如图,连接C′D交x轴于点P,∵点C关于x轴的对称点为C′,则PC=PC′,--C′P要使PD+PC最小,即PD+PC′最小,则D、P、C′三点共线设直线C′D的解析式为y=kx+n,则,解得∴.当y=0时,,∴∴点P的坐标为(,0)(4)∵点A关于抛物线的对称轴的对称点为B,则QB=QA,要使最大,即最大,则A、C、Q三点共线如图,连接AC交

4、抛物线的对称轴于点Q,QF解法一:设直线AC的解析式为y=kx+n,则,解得∴.当x=1时,,∴点Q的坐标为(1,6)解法二:设抛物线的对称轴交x轴于点F.∵QF∥y轴,∴∠ACO=∠AQF,∠AOC=∠AFQ∴△AOC∽△AFQ∴,∴,∴∴点Q的坐标为(1,6)∴即当点Q的坐标为(1,6)时,有最大值,最大值为.第5页共5页中考压轴题精选典型例题讲解【作业1】(2011菏泽)如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

5、(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值.解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=x2+bx﹣2上,∴×(﹣1)2+b×(﹣1)﹣2=0,解得b=-∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2.y=x2﹣x﹣2=(x2﹣3x﹣4)=(x﹣)2﹣,E∴顶点D的坐标为(,﹣).(2)当x=0时y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.当y=0时,x2﹣x﹣2=0,∴x1=﹣1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25

6、,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.(3)作出点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,2),OC′=2,连接C′D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD的值最小.解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴,∴,∴m=解法二:设直线C′D的解析式为y=kx+n,则,解得n=2,第5页共5页中考压轴题精选典型例题讲解∴.∴当y=0时

7、,-第5页共5页中考压轴题精选典型例题讲解【作业2】2011四川广安)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(-1,0),B(-1,2),D(3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在,求出点P的坐标;若不存在.请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另—个交点

8、为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有最大?并求出最大值.解:(1)由题意可得M(0,2),N(-3,2),∴解得:∴(2)∵PA=PC,∴P为AC的垂直平分线上,依题意,AC的垂直平分线经过(-1,2)、(1,0),其所在的直线为y=-x+1.根据题意可列方程组解得:∴P1()、P2().(3)如图所示,延长DC交抛物线的对称轴于点Q,根据题意可知此时点Q满足条件.由题意可知C(1,2),D(3,0),可求得CD所在的直线的解析式为.抛物线的对

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