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《二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二次函数动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系屮，点A,B,C的坐标分别为（-1,0）,（3,0）,（0,3）,过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线I.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点E是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE最小吋点E的坐标；（3）点P是x轴上的一个动点，求当PD+PC最小时点P的坐标；（4）点0是抛物线的对称轴上的一个动点，当点0在什么位置时有QB-QC
2、最大？并求出最大值.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,・・•抛物线经过A、B、C三点，a=-1h=2,・•・抛物线的解析式为：y二-/+2x+3.c=
3、3•・・y二—x?+2x+3=—（兀一1尸+4,・・・该抛物线的对称轴为直线x=l,顶点D的坐标为（1,4）.（2）・・•点A关于抛物线的对称轴的对称点为B,则AE二BE,要使AE+CE最小,即BE+CE最小，则B、E、C三点共线如图，连接BC交抛物线的对称轴于点E,解法一:设直线BC的解析式为y二kx+n,氏+/2=（）仏=_1则仁3，解得仁3y=-x+3.当x二1时，一％+3=-1+3=2,・°・点E的坐标为（1,2）解法二：设抛物线的对称轴交x轴于点F.•・・EF〃y轴，AZBEF=ZBC0,ZBFE=ZB0CAABFE^ABOCBFEF・°・=,BOCO.3-1E
4、F••=,33・・・EF=2・・・点E的坐标为（1,2）（3）作出点C关于x轴的对称点为C‘，则L（0,-3）,0Cz二3,如图，连接c‘D交x轴于点P,・・・点c关于x轴的对称点为c‘，则pc=pa,要使PD+PC最小,即PD+PQ'最小，则D、P、Cf三点共线设直线C‘D的解析式为y二kx+n,仏+72=4”仏=7则，解得q[n=-3W=33y=7jv—3.当y二0时，0=7x—3,.*•x=—•7・••点P的坐标为（2,0）7（4）・・•点A关于抛物线的对称轴的对称点为B,则QB二QA,要使
5、QB—QC
6、最大，即—QC
7、最大，则A、C、Q三点共线如图，连接AC交抛物
8、线的对称轴于点Q,解法一：设直线AC的解析式为y二kx+n,解得¥科72=35=3j7=3x+3.当x=l时，3x+3=3xl+3=6,・••点Q的坐标为（1,6）解法二：设抛物线的对称轴交x轴于点F.•・・QF〃y轴，・・・ZAC0二ZAQF,ZAOC=ZAFQAAAOC^AAEQ.AOCO・丄=2••1+1一of'・・QF=6••点Q的坐标为（1,6）\qb-qc=qa-qc
9、=ac=Vi2+32=Vio即当点"的坐标为（1,6）时，
10、qb-qcI有最大值，最大值为第2页共5页【作业1](2011荷泽)如图，抛物线y=-x2+bx・2与x轴交2D于A,B两点，与
11、y轴交于C点，且A(-1,0).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)判断AABC的形状，证明你的结论；(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时,求m的值.解:(1)V点A(-1,0)在抛物线y二丄x2+bx・2上,2I3-2=0,解得「13•••抛物线的解析式为y=-x2--x-2.221231z2、1,3、2y-—x-—x-2=—(x--3x-4)=—(x-—'22222325•••顶点D的坐标为(Z-—).28(2)当x=0时y二・2,AC(0,-2),002.1,3当y二0时,—x2x-2=0,/>xi=-Lx2=4,AB220)A0A
12、=b0B=4,AB=5-VAB2=25,AC2=0A2+0C2=5,BC=OC2+OB2=2O,・・・AC2+BC2=AB2.・•・AABC是直角三角形.(3)作出点C关于x轴的对称点C‘,则C‘(0,2),0C'二2,连接C‘D交x轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小.解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.VED#y轴,AZ0CzM=ZEDM,ZCZ0M=ZDEM•••△C'OM^ADEM..OMOC.m2.24••~_>••m—~~EMED32541-m28解法二：设直线C‘D的解析式为y二kx+n,4112n=2则<325,解得n=2,—
13、k+n=28r・・・F1+b寸e寸z一寸■feOHA训•:=■<寸2=c,<2=9a-3b+c,O=9a+3b+c.1a~~9'解得：vb=—,3c=2.【作业2]2011四川广安)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形血©9是直角梯形，BC//AD,ZBAD=90°,力与y轴相交于点鳳且〃是％的中点，A.B、〃三点的坐标分别是力(一1,0),B(-1,2),〃(3,0),连接蚀，并把线段沿刃方向平移到CW,若抛物线尸日#+bx+c经过点〃、M、N.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点只使得PA=PC.若存在，求出点
