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《二次函数-因动点产生的面积问题典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二次函数-因动点产生的面积问题例1、如图1,己知抛物线y=-x2-}-bx+c（力、Q是常数，且c<0）与”轴交于人〃两点（点/在点〃的左侧），与y轴的负半轴交于点G点力的坐标为（-1,0）.（1）b=，点〃的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结饥；过点/作直线力伤/应；与抛物线交于点仅点〃是/轴上一点，坐标为（2,0）,当C、〃、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结刖、PC.设比的面积为S.①求S的取值范围；②若的面积S为正整数，则这
2、样的△/犹共有个.思路点拨1.用c表示方以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB=2OC.2.当C、D、£、三点共线时，'EHAs'COB、'EHLS'COD.3.求△观面积的取值范圉，要分两种情况计算，户在％上方或下方.4.求得了S的取值范围，然后罗列P从M经过C运动到〃的过程中，面积的正整数值，再数一数个数•注意排除点久C.〃三个时刻的值.满分解答（1）b=c+丄，点〃的横坐标为—2c.过点E作EHLx轴于〃.由于当AE//BC时，AH=2EIL所以x+l=(x+l)Cx+2c).因此x=l—2c.所以E(
3、l-2c,l-c).当C、D、F三点在同一直线上时，—.所以I=Z£.DHDO-2c-12整理，得2
4、积S为止整数，则这样的△/沉共有11个.2,1,(0),1,考点伸展点P沿抛物线从力经过C到达〃的过程中，的面积为整数，依次为（5）,4,3,2,3,4,3,2,1,（0）.当戶在兀下方，S=4时，点P在氏的中点的正下方，尸是应'的中点.例2、如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为水0,1)、〃(2,0)、0(0,0),将此三角板绕原点0逆时针旋转90°,得到三角形/B'0.(1)一抛物线经过点川、B,B,求该抛物线的解析式；(2)设点"是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点"，使四边形/行A'〃的
5、面积是△彳夕0而积的4倍？若存在，请求出点戶的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，试指出四边形PB*〃是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.图1思路点拨1.四边形丹'A9〃的面积是△才B'0面积的4倍，可以转化为四边形丹'防的面积是△才B'0面积的3倍.2.联结四边形/为'必可以分割为两个三角形.3.过点向无轴作垂线，四边形丹'血也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.满分解答(1)防绕着原点0逆时针旋转90°，点彳、B'的坐标分别为(一1,0)、(0,2).因为抛物线与x轴交于A
6、13(-1,0
7、)、凤2,0),设解析式为尸=臼匕+1)匕一2),代入Br(0,2),得&=1.所以该抛物线的解析式为y=-d+l)d-2)=-/+x+2・(2)o—1.如果S四边形wAfg=4S^Arg0=4,那么S四边形曲加=3S^Afffo=3.如图2,作刃丄防，垂足为设点"的坐标为匕，—x+x+i).1191.19=-DO^O-^PD)=-x(2-xS、pdb=—DBxPD=-(2-x)(-x2+x+2)=一一兀2+2.+x+2)=--x3+-x2+2x.所以％边形PBADS梯形PBOD=—x2+2兀+2•解方程一,+2/+
8、2=3,得k=z=1.所以点戶的坐标为（1,2）.2图4图2图3（3）如图3,四边形"FAr〃是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线.考点伸展第（2）题求四边形加的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单.S、pb（）=运B'O・心=—x2x=x-&pbo——BO•yp——x2（—+兀+2）——+无+2•212所以％边形阳池=Sp&o+=—x+2x+2•甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作OB'关于抛物
9、线的对称轴对称的△从加，那么点F的坐标为（1,2）.而矩形励’0〃与△才OB'、△尿沪是等底等高的，所以四边形防'Af3的面积是△才ff0面积的4倍.因此点疋就是要探求的点尢例3、如图1,在平面直角坐标系屮，直线y=-x+与抛物线y=ax+bx—3交于弭、〃两点，点力在/轴上，点〃的纵坐标为3.点P是直线力〃下方的抛物线上的一动点(不与点/、
