高考数学中的染色问题的解题策略

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1、高考数学中的染色问题的解题策略高考数学屮的染色问题的解题策略安徴省太湖县丫镇高屮黄军华近几年來，数学高考以能力立意来命题，每年都出现一批立意独特、情景新颖脱俗的有关染色问题的试题。染色问题常以生活实际为背景，其背景公平，突出了数学思维能力和学习潜能的考查，是高考的热点索材z—,但是学生解答并不理想，症结在哪里呢？（1）对问题的背景不熟悉，染色问题情景生动有趣，虽然源于生活实际，但学生的阅历浅，从未见过，更无具体模式可套，因此倍觉破题困难；（2）不能正确地选好分类标准和优化分类顺序；（3）不能正确地将染色问题模型化、构造转化为熟悉的数学问题。针

2、对染色问题的特点和学&解答染色问题时存在的问题，下面本文将从两方面入手谈谈染色问题的常用解题策略。1、选好分类标准，优化分类顺序的策略分类讨论是一种重耍的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需耍对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单-一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答。因此，采用分类策略解答染色问题时，我们可以从三个方面入手考虑：1.1从确定染色顺序入手根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的

3、方法。例1如图（1）所示，用五种不同的颜色分别为A、B、C、D、E五部分染色，相邻区域不能用同一种颜色，但同一种颜色町以反复使用，也可不使用，求符合这种要求的不同染色方法的种数。分析：按照分步计数原理，先为A染色共有5种，再为B染色有4种（不能与A同色），接着为C染色有3种（不与A、B同色），同理依次为D、E染色各有3种，所以不同染色方法的种数为5X4X3=540（种）1.2从使用颜色的种类入手按照染色问题中的题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论入手，分别计算岀各种情形的种类，再川分类计数原理求岀不同的染色方法的种数。例2（2007年天津市理

4、科高考题）如图⑵所示，用6种不同的颜色给图中的四个格了染色，每个格了涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的染色方法的种数共冇多少种？解析：要给图屮的四个区域染色，可用2种或3种颜色完成染色任务，故需分成两类:（1）用2种颜色染色，必有A与C,B与D同色，故不同的染色方法有C6A2=30种；（2）用3种颜色对四个区域染色，必有一对不相邻区域要涂成同种颜色，此时必有A-与C或A-与D或B与D中之一同色，所以不同的染色方法总数为C6C3A3=360种；综上可知，不同的染色方法共冇390种。31322311.3从相对区域是

5、否同色入手从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种类。例3如图（3）所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图染色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的染色方法共有多少种？分析：要涂5个行政区域，可用3种颜色，也可用4种颜色，故需分成两类，由于颜色数少于区域数，那么不相邻的区域可能要涂成同色，因此要先对不相邻区域3、5或2、4染色，再染余下的，故需分步完成。解析：先分类讨论，再分步染色。(1)若区域3与5同色有C4种染色方法，区域2、1、4不同色共有A33种

6、方法，共有C4A3=24(种)；3同理，区域2和4同色，区域3、1、5不同色，共有C4A3=24(种)1113(2)若区域3与5同色有C4种染色方法，区域2和4也同色有C3种染色方法，则区域1可在1余下的两种颜色中任选一种冇C2种选法，此时染色方法冇C4C3C2=24(种)11111综上可知，不同染色方法共冇72种。2、构造转化的策略构造思想的实质是根据已知条件的特征，创造一个新的数学対象，从而实现问题的转化，显然它对培养学生创新意识和创新能力有重要的作用。对某些染色问题，倘若充分地挖掘题设与结论的内在联系，把染色问题与某个熟知的公式、图形联

7、系起來，并恰当地构造数列模型，就对得到富有新意的独特解法。如图6,用k种颜色对n个扇形区域染色，要求相邻扇形区域的颜色不同的染色问题，可令an表示对n块区域染色方法的种数，按区域的顺序研究区域i(i1,2,3,…，n)的染色方法，区域1有k种染色方法，其它区域各有k-1种染色方法，故共有k(kl)n1种方法，但这样的涂法只能保证区域i与区域i—1(i=2,3,…，n)不同色，但不能保证区域1-与区域n不同颜色。丁•是k(kl)n1种染色方法中包含了两类，一类是区域1与区域门不同色的罚种符合要求的染色方法，另一类是区域n与区域1同色的不符合要求

8、的染色方法，这吋可以把区域n与区域1看成一部分，这样的染色方法和当于n—1部分符合耍求的染色方法即an1种染色方法，根据分类计数原理，则冇：an+an1二k(kl)