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1、一、轨迹为点型A.一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点立体几何中轨迹问题的解题策略《普通高中数学课程标准》提岀“在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容Z间的联系”，高考大纲也提出了数学整体性和综合性的耍求，于是立体几何与解析几何作为几何的两个分支，两者“联姻”而成的题型逐渐成为高考与各省市模拟中的“热点”•这类题型立意新，知识交叉渗透，学牛常感到无从卜•手，本文将通过所求轨迹的种种类型來介绍如何找到这类问题的突破口，顺利解决问题.例1己知平面a〃平面B,直线〔us，点pel,平面a、B间9的距离为4,则在B内到点P的距离为5且到直线1的距离为亍的点的轨迹是（）.分
2、析设点P在平面3内的射影是0,则0P是（I、3的公垂线，0P二4.在3内到点P的距离等于5的点到0的距离等于3,可知所求点的轨迹是3内在以0为圆心，3为半径的9圆上.又在B内到直线1的距离等于，的点的集合是两条平行直线叭n,它们到点0的距离都等于F22,所以直线叭n与这个圆均相交，共有四个交点•因此所求点的轨迹是四个点，故选C.点评把空间的距离问题转化为平面问题來解决.二、轨迹为直线型例2（2006年北京卷）平而a的斜线AB交a于点B,过定点A的动直线1与AB垂直,且交□于点B,过定点A的动氏线1与AB垂肓，且交a于点C,则动点C的轨迹是（）A.—条肓线B.—个圆C.一个椭圆D.双
3、曲线的一支分析设1与11是过点A且与AB垂直的任意的两条直线，则这两条直线确定了一个平面P,由题意可得AB丄B,由于过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，因此平面P是唯一的.所以动点C都在平面G与B的交线上.故选A.点评本题利用公理2求解，熟练掌握立体几何屮的公理、定理对于解决问题有很人的帮助.三、轨迹为曲线型⑴轨迹为椭圆例3在三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角A-CC1-B的大小为3A.肓线B.抛物线C.双曲线D.椭圆0°,动点M在平IftiACC1A1上运动，H.M到平面BCC1B1的距离d二MA,则点M的轨迹为（分析过M作MN垂直平［ftiBBICIC于点N,作MD垂肓CC
4、1于D,连MD,由三垂线定理可DN丄CC1,所以ZMDN=30°迹为椭圆.故选D.1MA1=―则2MD=MN=MA,即MD2由圆锥曲线第二定义可知点M轨A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线点评利用二而角为定值这一特点转化为椭圆定义.（2）轨迹为抛物线型例4（2004年北京高考题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到肓线BC与肓线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的I1U线是（分析由C1D1丄平®BB1C1C,得PC1丄C1D1,所以PC1就是点P到直线C1D1的距离,因此条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，点P
5、的轨迹所在的曲线是抛物线•选D.小结以上两个例子均巧妙利用了题屮某些定值定最条件，转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法Z-.(3)轨迹为双曲线型C.椭圆D.抛物线迹是().例5已知沱订“，过点P引与直线e成45°角的直线交平面a于Q,则Q点轨分析如图4,过P作P0丄a于0点，以过0点与e平行的直线为y—,以OP为刁轴建立空间直角坐标系，过Q作0A丄x轴于A.设Q(x,y,0),贝ljA(x,0,0),由于P点固定,不妨设P(0,0,h),由题意OA=PA,所以y2=x2+h2,故选B.点评建立空间坐标系把立体几何与解析几何肓接联系起来.四、轨迹为空间
6、图形例6已知何条棱长都为3的点平行六而体ABCD-A1B1C1D1中，ZBAD=60°,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的而所围成的几何体的体积为()•271B.亍4tiC.N4tiD.亍分析由题意,当M或N与D点重合时DP=1,不重合时,M,N,D三点构成直角三角形,DP为斜边上的中点,DP=1.所以P点是以D为球心,半径为1的球在直平行六面体内部的部v_114Q分•由于ZADC=120°,所以233•故选B.点评利用MN为定长这一特点，巧妙转化为球的定义.通过以上儿例，不难发现，解决立体儿何中的轨迹问
7、题的关键在于把不同平面（即空间）上的条件转化到同一平面（即平面）中去，然后用解析几何方法去求轨迹.
