高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略

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1、高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略贵州省龙里中学洪其强(551200)高三数学复习屮的恒成立问题，特别是含参数不等式的恒成立问题，有利于考查学牛的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作川。因此也成为近几年高考和竞赛的一个热点。下面结合实例，介绍这类问题的几种求解策略。一、主元变更转化法：给定一次函数y二f(x)二ax+b(aH0),若y=f(x)在［m,n］内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于P<0亦可合并定成［們>°［fW>0>0同理，若在［m,n］内恒有f(x)<0,则冇例1、对于满足

2、p

3、<2的所有实数P,求使不等

4、式x2+px+l>2p+x恒成立的x的収值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将P视作白变量，则上述问题即可转化为在卜2,2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-l)p+x2-2x+l>0,设f(p)=(x-l)p+x2-2x+l,则f(p)在［-2,2］上恒大于0,故有:x°4：：：r>o-Ax<-1或x>3.二、利用判别式求解把不等式转化为一元二次不等式，利用d/+hx+c>0在R上恒成立的充要条件是打，可以求“在实数集斥上恒成立”这-类问题。94-9H7Y4-7/7例2、不等

5、式/兀<1对一•切实数兀均成立,求实数加的4x2+6x+3収值范围。3Q简解：由4兀2+6兀+3=(2兀+-)2+->0对一切实数x恒成立，从而,24原彳心等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3(xg/?)即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0对一切实数x恒成立。A=(6-2m)2-8(3-m)<0解得lv加<3故实数加的取值范围是(1,3)。三、分离变量，巧妙求解若在等式或不等式中出现两个变量，其屮一个变量的范围己知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变最分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xgR时

6、，不等式a+cos2x〈5-4sinx+J5d-4恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(xeR),另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x〈丁5。一4-a+5要使上式恒成立，只需yj5a-4-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-l)2+3<3,・・・-4-a+5>3即丿5°-4>a+2a-2no(上式等价于］5a-4»0^r_2<°o

7、解得-055a-4>(a-2)2例4、对于-2x+a-i^ae[-1,1]上恒成立则/(d)是一次函数，要令f(a)=(兀_1)6/+兀？_2x+1f(a)>0在上恒成立，则须满足:f/(-D>oI/(1)>0兀*"—兀〉0x~—3x+2〉0解得：x〉2或x<0,故实数x的取值范围是(-oo,0)u(2,oo)o四、数形结合求解若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图彖，则可以通过应图直接判断得岀结果。尤其对于

8、选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。°o13例5、当xw(0,+oo)时，不等式x2+2ax+a2——d—工>0恒成立，22求实数Q的収值范围。0013简解：令f(x)=x~--2ax--a~——a——，则对称轴x--a,22A=2。+6(1)A<0即d<—3吋，xeR9/(x)>0恒成立。a<-3满足条件(2)当A>0若xg(0,+oo)时，恒有/(x)>0,由二次函数的图彖可知了A=2ti+6>0)-a<0解得沦扌/(0)>0由(1)、(2)知：实数d的収值范围是(-oo-3)u[-,+oo)2例6、当XG(1,2)时，不等式(x-l)2

9、求a的取值范I韦I。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图彖是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解:设yi=(x-l)2,y2=logax,则yi的图象为右图所示的抛物线,要使对一切xe(1,2),y©恒成立，显然a>l,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于yj勺函数值。故loga2>l,a>l,Al