高考数学中的恒成立问题与存在性问题

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1、“恒成立问题”的解法常用方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。一、函数性质法nmoxynmoxy1.一次函数型：给定一次函数,若在[m,n]内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于；同理，若在[m,n]内恒有，则有.例1.对满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围。略解：不等式即为,设,则在上恒大于0，故有：，即.2.二次函数：①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）；②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例2.已知函数，

2、若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)选B。例3.设,当时，都有恒成立，求的取值范围。解：设，（1)当时，即时，对一切，恒成立；-1oxy（2）当时，由图可得以下充要条件：4即;综合得的取值范围为[-3，1]。例4.关于的方程恒有解，求的范围。解法：设,则.则原方程有解即方程有正根。.3.其它函数：恒成立（若的最小值不存在，则恒成立的下界0）；恒成立（若的最大值不存在，则恒成立的上界0）.例5．设函数，其中常数，（1）讨论的

3、单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围。.s.5.u.c.o.m解：（2）由（I）知，当时，在或处取得最小值。；则由题意得即。二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例6．已知函数，其中为实数．（1）已知函数在处取得极值，求的值；（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．4解：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函

4、数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。三、分离参数法：利用分离参数法来确定不等式（,为实参数）恒成立时参数的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，求得的取值范围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例7．当时，恒成立，则的取值范围是.解:当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以，所以，∴.例8.已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：原不等式

5、即为：，要使上式恒成立，只需-a+5大于的最大值，因为，∴，即或，解得a<8.O四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例9．若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)（D）4选B。例10.当)时，恒成立，求a的取值范围。答案：.xyo12y1=(x-1)2y2=logax例11.已知关于x的方程有

6、唯一解，求实数的取值范围。解：原问题即为：方程有唯一解。令，,则如图所示，要使和在轴上有唯一交点，则直线必须位于和之间。（包括但不包括)。当直线为时，;当直线为时，，∴的范围为。另解：方程在方程上有唯一解有唯一解。五。根据函数的奇偶性、周期性等性质：函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。例12.若为偶函数，求的值。解：由题得：对一切恒成立，对一切xR恒成立，只需也必须.（)4