恒成立与存在性问题.ppt

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1、函数中的恒成立和存在性问题(2)已知f(x)=lnx:①设F(x)=f(x+2)-，求F(x)的单调区间；②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.【解题指南】(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为恒成立，进一步转化为成立.(2)①F(x)=ln(x+2)-定义域为：(-2,-1)∪(-1,+∞).F′(x)==令F′(x)＞0，得单调增区间为和令F′(x)＜0，得单调减区间为和②不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3

2、am+4化为：ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即≤3ma+4-m2.现在只需求y=(x∈[0,1])的最大值和y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.因为在[0，1]上单调递减,所以y=(x∈[0,1])的最大值为0,而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：解得0≤m≤1或-1≤m＜0，所以m的取值范围是[-1，1].【互动探究】若本例(2)第①问中条件改为“F(x)=f(x+2)-kx在定义域内是单调递增函数”，则k的取值范围是______.【解析】由题

3、意F′(x)=-k≥0在(-2,+∞)上恒成立，∴k≤恒成立，∴k≤0.答案：k≤0【变式备选】已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上单调递减，在［0，+∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】f′(x)=ex-a.(1)若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,令ex-a≥0,得ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)方法一：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在(-∞，0］上恒成

4、立.∵ex在(-∞，0］上为增函数.∴当x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞)上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1，验证a=1符合题意.练习两个变量大小问题相等问题(a>0)两个变量大小问题相等问题恒成立和存在性问题把含有相同变量的移到同一侧不同的变量尽量拨开分离开放两侧转化为两个函数值域或最值的问题