课题恒成立与存在性问题.doc

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1、课题恒成立与存在性问题【备考要求】1．考查函数与参数，函数与函数间的关系问题．2．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．【复习指导】破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法.将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题基础梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，

2、存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则98、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；入门测1.设实数满足,当时,的取值范围是;2.不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;3.若对满足的所有都成立,则的取值范围;4.若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是;5.已知在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围;6.(2015广州一模）已知为实数，则是关于的绝对值不等式有解的()A.充分不必要条件B

3、.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件典型例题讲解题型一、常见方法—最值法最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．【例1】已知函数，，其中，．1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2）对任意，都有恒成立，求实数9的取值范围；【例2】设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．【例3】已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为【例4】已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．题型二、主参换位法(已

4、知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．【例1】对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。【例2】已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围；9【试一试】1.若不等式2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。【试一试】2.设函数为实数。（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。题型三

5、、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．【例1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是______.【例2】（2008江苏卷）设函数，若对于任意的,都有成立，则实数的值为．【例3】已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．题型四、数形结合9对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快

6、捷方法．【例1】若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________【例2】已知函数，在恒有，求实数的取值范围。【例3】如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是【例4】已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围【例5】（08全国21．）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．在解综合性较强的不等式恒成立问题时，有时一题多法。应以题为本，关键抓住恒成立的本质，具体问题具体分析，灵活运用这几种方法，选择最行之有效的方法，而不要拘泥

7、于一种方法。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法【例1】存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______。9【例2】已知函数存在单调递减区间，求的取值范围题型六分段讨论法当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．【例1】已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．【例2】若不等式对于恒成立，求的取值范围．【例3】(2006

8、年全国一卷)已知函数.若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围.【例4】(2008年全国二卷)设函数.如果对任何，都有，求的取值范围．题型七单调性法当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．【例1】若定义在的