专题一-恒成立与存在性问题

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1、练习返回[答案]B[答案]C(2)已知f(x)=lnx:①设F(x)=f(x+2)-，求F(x)的单调区间；②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.【解题指南】(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为恒成立，进一步转化为成立.(2)①F(x)=ln(x+2)-定义域为：(-2,-1)∪(-1,+∞).F′(x)==令F′(x)＞0，得单调增区间为和令F′(x)＜0，得单调减区间为和②不等式f(x+

2、1)≤f(2x+1)-m2+3am+4化为：ln(x+1)≤ln(2x+1)-m2+3am+4即≤3ma+4-m2.现在只需求y=(x∈[0,1])的最大值和y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])的最小值.因为在[0，1]上单调递减,所以y=(x∈[0,1])的最大值为0,而y=3ma+4-m2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，故其最小值只能在a=-1或a=1处取得,于是得到：解得0≤m≤1或-1≤m＜0，所以m的取值范围是[-1，1].【互动探究】若本例(2)第①问中条件改为“F(x)=f(x+2)-kx在定义域内是

3、单调递增函数”，则k的取值范围是______.【解析】由题意F′(x)=-k≥0在(-2,+∞)上恒成立，∴k≤恒成立，∴k≤0.答案：k≤0【变式备选】已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a,使f(x)在(-∞，0］上单调递减，在［0，+∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】f′(x)=ex-a.(1)若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,令ex-a≥0,得ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(

4、2)方法一：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在(-∞，0］上恒成立.∵ex在(-∞，0］上为增函数.∴当x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞)上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1，验证a=1符合题意.[答案]C1、三种基本形式：解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x

5、＋2y－4＞0，将点C(7,9)代入z得最大值为21.[答案]A2、求参数的取值范围：变式：思考：若目标函数取得最大值的点有无数个，则a的取值范围B[答案]B(2)(2011·浙江高考)若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．C[答案]C