浅谈管理高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略

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1、n掌握NE5000E/80E/40E产品的体系结构n掌握NE5000E/80E/40E的单板构成n掌握NE5000E/80E/40E换板操作n了解NE5000E/80E/40E升级操作高考复习中恒成立问题的解题技巧与策略贵州省龙里中学洪其强（551200）高三数学复习中的恒成立问题，特别是含参数不等式的恒成立问题，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为近几年高考和竞赛的一个热点。下面结合实例，介绍这类问题的几种求解策略。一、主元变更转化法：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0

2、),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy例1、对于满足

3、p

4、2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2

5、x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.二、利用判别式求解把不等式转化为一元二次不等式，利用在R上恒成立的充要条件是，可以求“在实数集R上恒成立”这一类问题。例2、不等式对一切实数均成立，求实数的取值范围。简解：由对一切实数恒成立，从而，原不等式等价于即对一切实数恒成立。解得故实数的取值范围是（1，3）。三、分离变量，巧妙求解若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题

6、求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即>a+2上式等价于或。解得a<8.例4、对于，求使

7、不等式恒成立的的取值范围。简解：原不等式等价于在上恒成立令则是一次函数，要在上恒成立，则须满足：即解得：或，故实数的取值范围是。四、数形结合求解若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例5、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。简解：令，则对称轴，（1）即时，，恒成立。满足条件y（2）当若时，恒有，由二次函数的图象可知：x0解得由（1）、（2）知：实数的取值范围是例6、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

8、成立，求a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1,a>1,1

9、)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例7、若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0对一切xR恒成立，只需也必须sin+cos=0。=k.（kZ）以上介绍

10、了含参数不等式恒成立问题的五种求解策略，在实际解题过程中，应根据具体问题的条件、特征选择恰当的方法，快速、简捷地求出答案，只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力。