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《数学“存在性”问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖而鮫广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近儿年来各地中考的“热点”。这类题II解法的一般思路是：假设存在f推理论证一得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基木技能提岀了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全而的考验。【典型例题】例1.若关于x的一元二
2、次方程/_3伽+1）兀+/一9加+20=0有两个实数根，3又己知a、b、c分别是△ABC的ZA、ZB、ZC的对边，ZC=90°,且cosB=-,5b-a=3,是否存在整数m使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于心△ABC的斜边c的平方？若存在，求出满足条件的加的值，若不存在，请说明理由。分析：这个题口题设较长，分析吋要抓住关键，假设存在这样的m,满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtAABC斜边c的平方，隐含条件判别式A20等，这时会发现先抓住RtAABC的斜边为c这个突破口，利川题设条件，运用勾股定理并不难解决。3解：在RtAABC中，ZC=90°,VcosB
3、=-・••设a=3k,c=5k,则由勾股定理有b=4k,・:b-a=3,:.4k—3k=3,：・k=3:.a=9,b=}2,c=5设一元二次方程/-3(m+l)x+m2-9m+20=0的两个实数根为小，x2贝U有：兀]+勺=3(加+1)，x{x2=m2-9m+20・••屛+兀；=(x]+兀2尸一2兀]兀2=[3(加+I)]2-2(m2-9m+20)=Im2+36m—31由兀；+兀；=c?,c=15有7/2+36m-31=225,即7m2+36m-256=0・464・・加]=4,m2=皿-尹是整数,应舍去,当加=4吋，△〉（）・••存在整数m=4,使方程两个实数根的平方和等于RtAAB
4、C的斜边c的平方。例2.如图：已知在同一朋标系屮，直线y=fcx+2-—与y轴交于点P,抛物2*线）=/一2伙+1）兀+僦与兀轴交于4（召,0）,B（x2,0）两点，C是抛物线的顶点（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）（2）若点A在点B的左侧，ILX]・x2＜（）①当k取何值时，直线通过点B；②是否存在实数k,使Sub尸Subc?如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。认真观察图形，要使Saabp=S△abc，由于AB=AB,因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP显然是AABP的高线，而AABC的高线，需由
5、C作AB的垂线段，在两个高的长屮含有字母k,就不难找到满足条件的k值。4X4—4伙+1)2歹最小值-A—(2)由『=x2一2伙+l)x+4k,得：y=(x-2)(x-2k)①当y=0时，兀］=2,x2=2k・・•点A在点B左侧，・..X］0AA(2k,0),B(2,0),将B(2,0)代入直线y=kx+2-~k4得：2^+2--=0,:.k=--23・••当k=-~时，直线过B点3（2）过点C作CD丄AB于点D则CD=I—仗―1）2
6、=仗—1尸・・•直线y=kx+2--^y轴于P((),2--),2•2：.0P=2--2若=S△磁'则^AB-
7、OP=^AB-CD:.OP=CD：.2--=（k-y2解得：k、=一~,k2=22由图彖知，k<0,:.取R二一丄2△ABPAABC此时，抛物线解析式为：y=x2-x-2例3.已知：AABC是。0的内接三角形，BT为OO的切线，B为切点，P为直线AB±一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F。（1）当点P在线段AB±时，求证：PA・PB=PE・PF（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。（3）若人3=4血，cosZEBA=-,求的半径分析：笫（1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一•般思路，需要把
8、它转化为比例式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太人的困难。难点在于让P点沿BA运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图形，并沿用原来的思路、方法去探索，看可否解决。第（3）问，从题意出发，由条件cosZ£BA=
9、,欲求（DO的半径，启发我们作出直径为辅助线，使隐性的条件和结论显现岀來。证明：（1）（如图所示）EBVBT切OO于B,・ZEBA=ZC,•・・EF〃BC,AZAFP=ZCZAFP=
