数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

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1、第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分）1、累次极限存在是重极限存在的（）无关条件A充分条件B必要条件C充分必要条件df（x,y）、dx（x°'Vo）Alim门心+心,儿+Ay)-/(兀0,儿)AxtOAxB恤念。+心儿）MtOAyclimm+3儿+A>')-g+2、儿)Ar->0AxDlim/（兀0+心，儿）一/（兀0，儿）Ax）可微；B./U），）在（心”为）在任何方向的方向导数均存在；3、函数/Uy）在（丸“旳）可偏导,则（DATUy）在（心莎）CyUy）在（心莎）连续；D以上全不对。4

2、、/(x.y)79兀丁..，的二重极限和二次极限各为（Bx2y^（x-y）2A、(),(),0；B、不存在,0,0,；C.0,不存在,Xdz5、设"e-,则x—+y——=(A)dx5yAs0；B、1；C.・1；D、2。0：二计算题（50分，每小题10分）以0,o,不存在。1、证明函数f（x,y）=9JCbx2+y20x2+y2在（0,0）点连续且可偏导，但它在2、3、F设有隐函数Sz=0，其中F的偏导数连续，求比、该点不可微;XXfM=^e~r'dTdt^fXx)Jx)设(八4、计算0COS曲-沁，如其中c是任一

3、条以/（0,0）起点、B（讪为终点的光滑曲线;5、讣算2x+y三.验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分］（y+z）dx+（z+x）dy+（x+y）dz与路线无关，并求被积衣达式的原函数;-KOa〉0,）sinfd兀关丁fg（0,+8）2、说明对任意°均一致收敛;3、验证函数2xy/(x,y)=

4、g=z（x）在点p（i,i,-2）处的一阶导数。部分题目参考答案:二、1、证明：0<1.-

5、解法1]由隐函数、复合函数求导法亘

6、z=眄，dx/x]•(y]xE+y/sr,=+户①丁°*dzz2E丄z、(-+F2一［解法2］利用全微分,将隐函数方程两边取金微分，得F；d-+Ed丄=0；V，zdx-xdzzdy-ydz_Qz2衣_zF；dx+迅〃y苛'+yF2dz_zF}dxxF}+yF2fe_zF2dyxF}+yF2山此可见，用全微分來求隐函数的偏导数也是一个途径.dY6X二、4、解令X二"cosy,丫二―Ksiny，则==-^siny故被积表达式ex（cosydx-sinxdy）一定有原函数，注意到d（K

7、cosy）=ex（cosydx一sinxdy）,知讥兀,y）/cosy是/（cosydx—sizdy）的一个原函数，故山定理21.13,有2（cos）/-sin），d）Aosyl；牆#心11二、5、解曲面工在x°y平面上的投影区域dzdz.—=2%,——=2ydx勿，于是曲而的而积微元比彳（兀‘y）l*+b召）dSdb=Jl+4/+4;/db[[zdS=ff(x2+}?2)/l+^x2+4y2da所以及処『朋仟/+4兀2加厂11=2^[4-/>/1+47.(在极坐标系下计算)402-071r'2/42、力1+一

8、(“"心盲兀(u=VTT47)三小解由于"y+z,Q十讣=翌=塑=还=兰=1,所dydx8zdydx8z以曲线积分与路线无关.现在求/心,y,z）=Jjw（）‘+乙皿+（2+兀）〃）'+（兀+〉'）乂.取M（｝M为沿平行于x轴的直线到M]O,y（）,z（）），再沿平行于y轴的直线到M2（x,y,z0）,最后沿平行于z轴的直线到M（兀,y,z）•于是u(x,y,z)=J(y°y+Z（））ds+j（z0+x）dt+X。y（）z（）=（）'o+Zo）兀一（『0+Zo）兀0+（Zo+x）y—（Zo+兀））''o+（x+y）

9、Z_0+y）Zo=xy+yz+xz+c其中c=一x（）y（）-“）z（）-儿忆（）是一个常数，若取M（）为原点，则得w（x,y,z）=xy+xz+yz.x>1时,三、2、解当0-(。+.丫2)剛3+7弓"占又收敛，所以+00J严』）sinM'关于'w（0,+2）—致收敛.而积分（）1{e~(a+x2)sintdt是定枳分，所以三、3>证明+00Jf-(a+Q