数学系第三学期数学分析期末考试题及答案.doc

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1、第三学期《数学分析》期末试题一、选择题：（15分，每小题3分）1、累次极限存在是重极限存在的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件2、（）A；B；C；D。3、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（D）Af(x,y)在（x0,,y0）可微；Bf(x,y)在（x0,,y0）连续；Cf(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向导数均存在；D以上全不对。4、的二重极限和二次极限各为（B）A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。5、设，则（A）A、0；B、1；C、-1；D、2。二、计算题（50分，每小题10

2、分）1、证明函数在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、设；3、设有隐函数,其中的偏导数连续,求、；4、计算，其中是任一条以为起点、为终点的光滑曲线；5、计算，其中为在的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数；3、验证函数在原点（0，0）分别对每个自变数(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.部分题目参考答案：二、1、证明：（4分）=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又，存在切等于0，（4分）但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）由于，所以.二、3、  

3、[解法1] 由隐函数、复合函数求导法  [解法2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得                      ， ，故      .由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.二、4、 解 令=，=，则 ==,故被积表达式一定有原函数，注意到=,知  = 是的一个原函数，故由定理21.13，有= =.二、5、解 曲面在平面上的投影区域，而，于是曲面的面积微元        所以  （在极坐标系下计算）    .三、1、解由于所以曲线积分与路线无关.现在求取为沿平行于轴的直线到，再沿平行于轴的直线到，最后沿平行于轴的直线到.

4、于是其中是一个常数，若取为原点，则得三、3、证明，与，即在原点（0，0）分别对都连续当时，却有，即在原点（0，0）不连续（其实在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.