数学系一年级《数学分析》期末考试题.doc

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1、（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{}、{}和{}是三个数列，且存在N,n>N时有，则（）A{}和{}都收敛时，{}收敛；B.{}和{}都发散时，{}发散；C{}和{}都有界时，{}有界；D.{}有界时，{}和{}都有界；2、函数在点必（）A.左连续；B.右连续C.连续D.不连续3、（）在点必（）A.；B.;C.;D.；4、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可微，但。则（）A.（），使；B.（），使;C.（），使；D.当>时，对（），有>0；5、设在区间Ⅰ上有，。则在Ⅰ上有（）A.；B.；

2、C.；D.；二、（满分15分，每小题3分）填空题：1＝；2。在区间[]上的全部间断点为；3＝,；4函数在R内可导，且在（）内递增，在（）内递减,，的单调递减区间为；5；三、（满分36分，每小题6分）计算题：1、;2、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式;3、；4、,计算积分；5、；6、斜边为定长的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积;四、（满分7分）验证题：由有“”定义验证数列极限；五、（满分32分，每小题8分）证明题：1设函数和都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数在区间Ⅰ上一致连续；2设函数在点可导且，试证明：～，其中；3设函数

3、在点具有连续的二阶导数，试证明：；4试证明：<<时，有不等式>.（二）一年级《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）判断题：1、无界数列必发散；（）2、若对>0，函数在[]上连续，则在开区间（）内连续；（）3、初等函数在有定义的点是可导的；（）4、，若函数在点可导，在点不可导，则函数在点必不可导；（）5、设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，但，则对，有；（）二、（满分20分，每小题4分）填空题：1、＝；2、曲线的所有切线中，与直线垂直的切线是；3、，；4、函数二阶可导，，则；5、把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，；

4、三、（满分30分，每小题6分）计算题:1、；2、；3、，求；4、，求；5、；四、（满分40分，每小题8分）证明题：1、设函数在区间Ⅰ上满足Lipschitz条件：>0，Ⅰ，有，证明在区间Ⅰ上一致连续；2、证明函数在点不可导；3、设函数在R内连续且，试证明在R有最小值；4、设<<，在[]上可导，在（）内可导，证明，使得；5、设函数和可导且，又，证明，其中为常数.（三）一年级《数学分析》考试题一对错判断题：1、设为两个数列，若（）则；（）2、若函数以为极限，则可表为；（）3、设定义于[]上，若取遍与之间的任意值，则比在[]上连续；（）4、若在连续，且存在，则

5、在有界;（）5、若的导数在[]上连续，则必存在常数L,使，；（）6、①当时，；（）②；（）7、若和在点都不可导，则在点也不可导;（）8、为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点有：（）9、若在二阶可导，则（）为曲线的拐点的充要条件为；（）10、若S为无上界的数集，则存在一个递增数列,使得；（）二单项选择题：1、设在处连续，则（）A.1B.C.D.－12、设当是不连续是因为（）A.在无定义B.不存在C.D.左，右极限不相等3、设，其中在处连续但不可导，则（）A.不存在B.C.D.－4、当很小时，下列近似公式正确的是（）A.B.C.D.5、若和对于区间（）内

6、每一点都有，在（）内有（）A.B.D.（c为任意常数）D.（c为任意常数）三证明题：1证明;2证明不等式：；3对任意实数有；4证明：方程（为常数）在内不可能有两个不同的实根；5设函数在点存在左，右导数，试证在连续；6证明：若极限存在，则它只有一个极限；四计算题：1写出的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2求下列极限：①；②；③；3求的微分；4设函数的参量方程（）所确定，求.（四）一年级《数学分析》考试题一叙述题：1用语言叙述（为定数）2叙述Rolle中值定理，并举出下列例子：1）第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；2）第二个条件不成立，其它条

7、件成立，结论不成立的例子；3）第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1求极限；2求极限；3求的带Peano型余项的Maclaurin公式；4求；三、研究函数在处的左，右极限和极限；四、研究函数求数集的上、下确界，并依定义加以验证；五、证明题：1用定义证明：；2证明：()3设定义在区间Ⅰ上，若存在常数L，,Ⅰ,有证明：在Ⅰ上一致连续；4设函数在点的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明.（五）一年级《数学分析》考试题一判断题：（满分10分，每小题2分）1、若，则；（）2、有限开区间（）内一致连续的函数必在开区间内有界；（）3、设函数在点的某领域内有定义

8、，若存在数，使，（），则在点可导且；（）4、，若函数在点可导，则函数和都在点可导