期望值与变异数

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1、期望值變異數共變異數與相關係數變異數與共變異數之性質柴比雪夫不等氏動差與動差生成函數15.1期望值5.1.1單一隨機變數之期望值5.1.2二元隨機變數之期望值5.1.3期望值之性質25.1.1單一隨機變數之期望值(1/4)在前幾章節，已經介紹了已知資料的平均數，在此章節我們將介紹未知資料值的平均數，在此稱之為「期望值」。(一)隨機變數之期望值若為隨機變數X之機率(密度)函數，則隨機變數X的平均值或期望值以或表示，定義如下：(1)若X為離散型：(2)若X為連續型：參見例5.135.1.1單一隨機變數之期望值(2/4)例題5.1已知一離散型隨機變數X之機率分配如下，試求X之期望

2、值μ。【解】因為Xf(x)=P(X=x)100000.3300000.2500000.4700000.1合計1.045.1.1單一隨機變數之期望值(3/4)(二)隨機變數函數之期望值令為隨機變數X之機率(密度)函數，則X之函數的期望值定義如下：(1)若X為離散型：(2)若X為連續型：參見例5.455.1.1單一隨機變數之期望值(4/4)例題5.4令X表投擲一個硬幣二次，出現正面的次數，且（式中表示當投擲兩次正面，則可獲利100元，而投擲兩次均反面，則損失100元，若僅投擲一個正面則沒有輸贏)，試求之期望值。【解】因為隨機變數X的機率分配如下：所以之期望值為x012合計f(x)1/41

3、/21/4165.1.2二元隨機變數之期望值(1/6)(一)二元隨機變數之期望值(1)若為離散型，則(2)若為連續型，則75.1.2二元隨機變數之期望值(2/6)(二)二元隨機變數函數之期望值(1)若為離散型，則(2)若為連續型，則參見例5.5參見例5.685.1.2二元隨機變數之期望值(3/6)例題5.5下表為民眾對市政府滿意程度之機率分配：(X表年齡層，Y表滿意分數：最低分1分；最高分5分)試求：(1)(2)XY12345總和0(表小於30歲)00.050.150.20.10.51(表大於、小於30歲)00.10.20.200.5總和00.150.350.40.195.1.2二元

4、隨機變數之期望值(4/6)承上頁【解】(1)因此民眾對市政府之平均滿意分數為3.45，即民眾對市政府之平均滿意程度為介於普通與滿意之間。(2)105.1.2二元隨機變數之期望值(5/6)例題5.6令二元隨機變數之聯合機率密度函數試求：(1)及(2)【解】(1)115.1.2二元隨機變數之期望值(6/6)承上頁(2)125.1.3期望值之性質(1/2)定理5-1若X為一隨機變數，且a、b為常數，則推理5-2若b為一常數，則E(b)＝b。定理5-3令q1(X)、q2(X)為隨機變數X之函數，則135.1.3期望值之性質(2/2)定理5-4令為二元隨機變數，q1(X,Y)、q2(X,Y)為

5、隨機變數之函數，則推理5-5若(X、Y)為一二元隨機變數，則定理5-6若X、Y為獨立之隨機變數，則145.2變異數5.3共變異數與相關係數5.3.1二元隨機變數之變異數5.3.2共變異數與相關係數155.2變異數(1/4)(一)隨機變數之變異數令X為一隨機變數且μ為其平均數，則X的變異數以或表示，其定義如下：由上述定義，我們可得以下結果：(1)若X為離散型：令為其所有變量，且為其機率函數，則(2)若X為連續型：令為其機率密度函數，則定理5-7之計算公式參見例5.9參見例5.10165.2變異數(2/4)例題5.9假設一隨機變數X的機率分配如下：試求及【解】x123f(x)0.30.4

6、0.3175.2變異數(3/4)例題5.10若隨機變數X的機率密度函數，試求及【解】(1)(2)185.2變異數(4/4)(二)隨機變數之標準差令X為一隨機變數且為其變異數，則X的標準差定義為由上述之定義可得例5.9之隨機變數X之標準差為195.3.1二元隨機變數之變異數(1/4)若為一二元隨機變數，則(1)若為離散型，則(2)若為連續型，則參見例5.12參見例5.13205.3.1二元隨機變數之變異數(2/4)例題5.12承例5.5，求隨機變數Y之變異數及標準差【解】因為且因此變異數與標準差分別為215.3.1二元隨機變數之變異數(3/4)例題5.13承例5.6，若之聯合機率密度函

7、數為求隨機變數X、Y之變數及。【解】(1)由例5.6得知且225.3.1二元隨機變數之變異數(4/4)承上頁(2)同理，，且235.3.2共變異數與相關係數(1/6)(一)共變異數二元隨機變數之共變異數，以或表示，定義如下：定理5-8推理5-9若X、Y為獨立之隨機變數，則參見例5.14245.3.2共變異數與相關係數(2/6)例題5.14承例5.5，求二元隨機變數X、Y之共變異數【解】由例5.5得知，即隨機變數X、Y具有負的線性相關。255.3.2共變異數