变异数分析与2

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1、第12章變異數分析與;e2檢定12.1簡介本章中將介紹％2與F分配如何應用在分析兩個以上母體的平均值與比例值上。基本上，可分:1.變異數分析(ANOVA):分析不同樣本平均數間是否有顯著差異——用F分配。2.檢定goodnessoffit和independence-goodnessoffittest:檢定不同母體比例間是否相等，或某分配是否恰當——用％2分配來做。testofindependence:決定不同樣本比例間的差異是否顯著，還是只是偶然罷了。12.2One-wayANOVAANOVA將不同母體拆成不同的部分，再用這些部分來

2、做出樣本統計值。其應用範例諸如=1.不同商品擺在不同貨架上是否會影響其銷售成績？1.廣告對某些商品是否比較有效？2.獎勵措施是否對某類員工更有效？3.電腦化對哪類職場比較能提高工作效率？4.會計師可用ANOVA來測試某組帳戶的樣本平均值與其他組帳戶的平均值是否顯著不同？資料分組方式可依：單一分類(singleclassification)-one-wayANOVA雙重分類(dualclassification):two-wayANOVA用範例來解釋one-way(one-factor)ANOVA-假若我們想知道工作經驗對大學畢業生的

3、新進人員起薪是否有影響，假設我們從東華大學經濟系的畢業生中抽出我們的樣本。根據工作經驗來分類，分成三組(treatments):1.有學士學位，無工作經驗，2.有學士學位，有一年工作經驗，1.有學士學位，有兩年工作經驗。共抽12個樣本(每組抽4個)，其薪資列於表12.1，此為單一分類(按工作經驗分類)。表12.1列出不同經驗組的平均值，也列出全部樣本的平均值，我們接著要問這三類（不同工作經驗的）母體的平均值是否相同？Ho：//1=//2=//3H,:至少有兩個母體的平均值不相等我們想知道表12.1中樣本平均數的差異是否全為偶然？如果

4、檢定結果為：有顯著差異——則工作經驗真的會影響起薪。One-WayANOVA:表12.2列出m個母體（類別組），每個母體（類別組）抽出n個樣本的ANOVA分析，表底端列出各類別的樣本平均值，表中的數值符號如下：'第j組第/個樣本值，三:第j組的樣本平均值，〜:第j組的樣本數，n=^jnjn.jnnjw__Zxij___z=l__J=1，=1_7=1n.要檢定先前的假設，必須作下列兩個變異值:within-groupvariabilitybetween-groupsvariability根據表12.1的例子，我們可以畫出圖12.1的

5、分(a)顯示若不分組，其母體為離散度高的一個分配，(b)顯示分組後的三個母體分配的離散度不一，(c)根據nullhypothesis分組後的母體分配應是相同的。我7f門用sumofsquareddeviation（或稱sumofsquares）來衡量變異程度。between-treatmentssumofsquares（或稱between-groupsvariability）（組『扇變異）為：m——SST=Yn^J~^27=1在例子中’ni=n2=n3=4,Xi=17,%2=20,%3=23,x=20故組間變異SST=72SST顯示

6、各類別平均值間的離散程度。within-treatmentsumofsquares（組内變異）：州nj_ssw=-A）2，i為樣本點，j為組別。j=li=lssw指出各組別內部因為隨機抽樣所導致的變異程度。例子中的組內變異SSW=46。ANOVA分析中的總變異=組間變異+組內變異即TSS=SST+SSW此處的檢定雖只用到組間與組内變異，但總變異與組間、組內變異之間的關係可能亦相當有用。檢定時，自由度相當重要，組間變異的自由度為m-1，因其有m組樣本平均值（由m組隨機抽樣得出），而當其衡量各組平均與總平均之離散度W—hxj時，因x=f

7、—，使得它損失了一個自由度，n故其自由度為m-l。例子中：組間變異的自由度為3_1=2組内變異的自由度為(n-m)，因有n個觀察值(樣本值)，而衡量變異時，必須求各組樣本值與各組的樣本平均之離散度，共有m個算數平均數的方程式，故而少了m個自由度。例子中的組内變異為12-3=9我們的nullhypothesis隱含一個假設：這m組的分配應該是同一個，故而其變異應該相同，如果nullhypothesis為真，SST與SSW應可用來估計此變異數。組間平均變異(meansquare,i.e.variance)的不偏估計為MST=SST/(m

8、-l)組內平均變異(meansquare,i.e.variance)的不偏估計為MSW=SSW/(n-m)TestStatistic:比較組間與組内之平均變異可用F分配:F=(MST/MSW)為何F為上式所示？Recall:•••Ho