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1、概率中的数学思想与错解剖析长泾中学施芳芳1・分类讨论思想例1•把写有数字1,2,3,4,5,6的6个球放入盒子小，从盒子中任意取出一个球，求：（1）球上的数是偶数的概率；（2）球上的数是奇数的概率；（3）球上的数不小于4的概率；（4）球上的数大于1的概率.思路分析：取出球上的数字分别是1,2,3,4,5,6这6个事件彼此互斥，且事件发生的概率都是丄，利用分类讨论思想求解十分方便.解：列表:球上的数字X123456概率111111666666(1)P（X是偶数）二P(x=2)+P(x=4)+P(x=6)
2、-+-+———■6662(2)P（X是奇数）=P(X=1)+P(x=3)+P(x=5)—11+1_16662(3)P(x>4)=P:=4)+P(x=5)+p(x:=6)=11+一+1—1■6662(4)P(x>1)=P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P<(x=5)+p(;<=6)或者p（x>l）=1-P（x<1）=1-P（x=1）=1.66点评：这里将某一事件看作几个彼此互斥的基本事件的和，再利用概率的加法公式，解题十分流畅、方便，同时也体现了分类思想的恰当利用.2.数形结合思想数形结合是一种
3、重要的思想方法，在解决概率问题吋，可以利用集合的图理解事件间的关系，利用表格、树状图等计算古典概型的基本事件数，利用数轴、坐标系解决几何概型中事件区域的长度、面积、体积等问题.例2.设点（pg）在1/;1<3,1^1<3屮均匀分布，试求关于x的方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率.思路分析：本题表面上是一元二次方程问题，而求出条件Z后转化为关于参数p、q的关系式问题，再构造平面图形，利用数形结合法求概率.解：由于点（p,q）满足lpl<3且Igl53,所以点S，g）的集合组成了边氏为6的
4、正方形(如图),其面积S=62=36・由方程/+2"-/+1=0的两根都是实数，得A=(2p)2-4(-^2+l)>0,即p2+q2>1.所以，当点(〃,g)落在正方形内且在圆外的阴影区域(如图)内时，方程的两根都是实数,由图可知，阴影区域的面积&=S-S圆=36-乃,所以原方程的两根都是实数的概率为P=£=西二兰.S362.化归思想转化与化归思想是处理数学问题的重要思想方法之一，它的运用能使问题化繁为简、化难为易、化未知为已知，从而使问题顺利解决•解决概率问题时常常用到化归思想，比如求概率时有吋要化
5、成互斥事件的和事件；当求某事件的概率比较麻烦，但其对立事件的概率易求时，往往转化为求其对立事件的概率；求几何概型的概率，往往转化为求图形的长度比、面积比或体积比.例3•某射手在一次射击训练屮，射屮10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率.思路分析：对于(1)，可转化为求两个互斥事件的和事件的概率，再利用加法公式求解;对于(2),可转化为求其对立事件的概率.解：(1)设“射屮10环”为事件A,“
6、射屮7环”为事件B,由于在一次射击屮，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，“射屮10环或7环”的事件为AUB.故P(AUB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下儿种情况：射屮6坏、5环、4坏、3坏、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能肓接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面人于等于7环，即7环、8环、9环、10环，但是由于此两事件必冇一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理.设“不够7环”为事件E,则事件巨为“射中7环
7、或8环或9环或10环”，由(1)可知“射屮7环”、“射屮8环”等是彼此互斥的事件，・•・P(E)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97从而P(E)=1-P(E)=1-0.97=0.03・•・不够7环的概率为().()3.归纳与总结：数学的灵魂在于数学思想方法，数学思想方法的巧妙利用，可使思路畅通、化难为易、事半功倍，使问题迎刃而解•解决概率问题时也常用分类讨论、数形结合、转化与化归、随机模拟等思想方法，思想方法的运用要根据问题的特点选用，同时注意这些思想方法的使用范围.类型一：“非等可能”
8、与“等可能”的混淆例1・掷两枚骰了，求所得的点数Z和为6的概率.错解:掷两枚骰子出现的点数之和2,3,4,…,12共11种基本事件，所以概率为P=—.11剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1,1),而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种.事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=—.36类型二：“互斥”与“对立”的混淆例2・把红、黑、白、蓝4张纸牌
