对三角函数中若干错解的剖析

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1、对三角函数中若干错解的剖析施小英在三角函数的学习中，倘若对基本的概念认识不清，对问题的思考不够严谨，缺乏一定的运算能力，部很容易导致解题的失谋，下而举例说明。I八"(4h+1例1・化间cosV471+(X丿<4/2-1+COSV4、7i-a(,?gZ)丿错解:原式=COSll7Cd—+(X

2、+COSll7C~

3、+6Z(兀)=cos—+aV4丿2c—<4)剖析:正解:造成错谋的原因是在应用诱导公式变形时没有对n进行奇偶性讨论。兀)(兀—+Q+cosn7T-—+Q4)V4丿原式=cosn兀七当n为偶数，即n=2k(keZ)W，原式=2cos-+6T

4、V4丿当n为奇数，即n=2fc+l(fcgZ)原式二—2cos(彳+”例2.求函数y=3sin^-2xj的单调递减区间。7TTT错解：由2k7i+-<——2x<2^+—,keZ.232解得：~kjrS兀5—k兀,kwZ1212所以函数歹=3sin(彳-2“的单调递减区间为：,-kn-—(^eZ)L1212j剖析：若要参照基本函数y=sinx,就必须把白变量x的系数化为正数，原因是曲线一•(兀y=3sin2x已经由曲线y=sinx经过了沿x轴的翻折变换。13正确：由y=3sin(彳一2兀(於得：y=-3sin2x•I3丿只求y=3sin(2x-fJ

5、的单调递增区间即可。兀jr兀由2“尹2-新2心丁解得：k7V-—0,cosa<0且sina>1cosal从而7t<2a<-—2故cosa<

6、0o例4.已知3sin，a+2sin2〃=2sina,贝ijsin26r+sin2/?的取值范I韦I是错解：由3sin2a+2sin20=2sina3得sin，B=sina——sin2a2sin26Z+sin20<3A•2•J•2=sirra+sina——snraI2丿又因为-l02可得OSsinoS土3■■4故正确结果为0,-L9」如果认为一1

7、tan~x错解：因为『=_2tan?=tanx,所以Tl-tan2x2剖析：本题解法遵循常规思路，先化简后求周期，结果却是错的。°nx究具原因，是从变到"tanx"不是等价变形。1一tairx前者定义域是[xx—,xeR,keZ]I224JLjr7T而后者定义域是—xeR,kez[24J显然在变形过程中定义域扩大了，两式不等价，故周期不一定相同。那么怎样求呢?我们可以用图象法求解，如图1,图2所示。由图彖比鮫可知丁=龙。图1图2例6.判断函数y=1-曲+叫的奇偶性。1+cosx+sinx错解：因为/（兀）=1-cosx+sinx1+cosx+

8、sinx2222cos2f+2sinrosf2sinIxxsin—+cos—<22丿小x2cos2xxsin—+cos—22.x=tan—2所以/(一兀)=tan(—寸X=-tan—2-/(x)因此/(兀)是奇函数。剖析：判断函数的奇偶性应该从两方而考虑:(1)定义域是否关于原点对称；(2)考査f(-x)与/(兀)的关系。此题要使/(x)有意义，贝I」1+sinx+cosxH0所以函数的定义域为*1兀工2比兀+减无工2鸟兀一彳，keZ它不关于原点对称，故/(x)为非奇非偶函数。35例7.已知AABC中，sinA=-,cosB=—,求cosC的值。

9、5133错解：由sinA=-和0sinA,由正弦定理得b>a由人边对人角得B>A,又B为锐角4所以A也为锐角，从而cosA=—故cosC=sinAsinB-cosAcosB=—o65例8.已知函数y=4sin(血+0)(4>0,I0v龙)的图象如图所示，试确定该函数的解析式。图3T7T7171错解：由图彖可知A=3。又-=-43124所以T=兀,—=71co所以co=2,故有

10、y=3sin（2兀+°）乂因为函数图象经过点（彳，0）所以苗sin=02兀则。=k7T-—（kGZ）因为I0V71所以得0=-年或0=彳