数列中的易错点剖析

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1、数列中的易错点剖析　　数列是函数概念的继续和延伸，在中学数学与高等数学中起着承上启下的作用，也是进一步学习高等数学的基础，但在平时的学习中同学们往往对定义、概念的理解不透，对公式、性质应用不熟而导致错误，本文对数列中的几个易错点加以剖析，希望从纠错中得到进一步的提升，以培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯.　　一、概念理解错误　　例1设数列{an}中，S1=1，S2=2，Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）判断{an}是不是等比数列.　　解题思路：∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）　　∴Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1），即an+1=2an（n≥2）　　an+1

2、an=2（n≥2）又a1=S1=1，a2=S2-S1=1，a2a1=1≠2所以不是等比数列.　　失分警示：忽视a1与an（n≥2）关系，由an+1an=2（n≥2）直接判断成{an}是等比数列.　　纠错心得：错误的原因是在对n的范围限制的遗漏，以及对等比数列的定义理解不透彻，从an+1an=2（n≥2）来看，反映的是数列{an}从第3项开始后一项与前一项的比是常数，而等比数列的定义是从第2项开始，后一项与前一项的比是常数，故需讨论a1与an（n≥2）关系.　　二、定义应用错误5　　例2“b2=ac”是“a，b，c成等比数列的条件（从充分非必要、必要非充分、充要、既非充分也非必要中选

3、）.　　正确解析：当a=b=c=0时，满足条件b2=ac，但它们不能构成等比数列；当a，b，c构成等比数列时，有b2=ac，由此“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的必要非充分条件.　　错因分析：忽视等比数列的首项及公比不为零而错填充要条件.　　纠错心得：因思考不严密，漏掉了特例对结论的影响，忽略了等比数列是由后一项与前一项的比为定值来定义的，即等比数列的任一项都是非零值.比例式化为乘积式成立，反之乘积式化为比例式时，应注意取值为零时不能转化这一特例.　　三、性质应用错误　　例3在由正数组成的等比数列{an}中，设x=a5+a10，y=a2+a13则x与y的大小关系是.　　解题

4、思路：x-y=a1q（1-q3）（q8-1）.当q=1时，x=y；　　当q>1时，1-q30，x-y0而q8-1<0，x-y<0；　　错因分析：误区1：错用等比数列性质，∵5+10=2+13，∴a5+a10=a2+a13　　误区2：∵x-y=a1q（1-q3）（q8-1），而1-q3，q8-1的符号随q与1的大小关系的变化而变化的，即x-y的符号不确定.　　四、通项公式应用错误　　例4Sn是数列{an}的前n项的和，已知Sn=2n，求数列{an}的通项公式.5　　解题思路：当n=1时，a1=S1=2；　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.由于n=1时，不符

5、合上式，　　所以数列{an}的通项公式是an=2，n=1，2n-1，n≥2.　　错因分析：由和的通项公式求项的通项公式时，易忽视n=1的情况，直接得出an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.导致错误.　　纠错心得：由数列{an}的前n项和的条件求数列{an}的通项公式，一般要分n=1与n≥2进行讨论，即由数列的前n项和Sn得出an的关系式：an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2.若n=1也符合n≥2时的式子，则可以合并成一个通项公式；如果不能合并，则按分段的形式给出结论.　　五、前n项和公式应用错误　　例5若两个数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn且满足SnT

6、n=3n+24n-5，则a5b5=.　　错因分析：公差不为零的等差数列的和式是二次式an2+bn，对Sn的形式理解不够，出现了由SnTn=3n+24n-5得出Sn=（3n+2）k，Tn=（4n-5）k，进而出现了a5=S5-S4=3k，b5=T5-T4=4k，a5b5=3k4k=34这样的错误.　　正确解析：解法一SnTn=3n+24n-5得出Sn=（3n+2）nk，Tn=（4n-5）nk，　　则a5=S5-S4=29kb5=T5-T4=31k故a5b5=29k31k=2931　　解法二a5b5=9a59b5=9（a1+a9）29（b1+b9）2=S9T9=3×9+24×9-5=2

7、931.5　　纠错心得：公差不为零的等差数列，其前n项的和是关于n的二次函数，所以在设公差时，注意将前n项和还原成二次函数，另外，应注意等差数列求和公式的一个变形：S2n-1=（2n-1）an在解题中的应用.　　六、忽视公比为“1”的情况导致错误　　例6设x∈R且x≠0，求数列{（n-1）xn}的前n项的和Sn.　　正确解析：∵x∈R且x≠0∴对x可分以下两种情况讨论：　　当x=1时，Sn=0+1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）2　　当x≠1时，Sn=0?x1+