立体几何中的易错点剖析

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1、立体几何中的易错点剖析　　立体几何是高中数学的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，在求解立体几何问题时，常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中，如能在这些易错点上，强化正误辨析意识，就会加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在从剖析立体几何的常见错误出发，为同学们在以后的立体几何复习中防微杜渐，起抛砖引玉之用.　　易错点一：概念不清导致错解　　例1下列命题：　　①经过三点确定一个平面；　　②梯形可以确定一个平面；　　③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；　　④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.　　

2、其中正确命题有.　　错解：①②③　　错因分析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误.　　正解：②③　　例2已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：6　　①若a∥b，bα，则a∥α；　　②若a∥b，a∥α，则b∥α；　　③若a∥α，b∥α，则a∥b.　　其中真命题的个数是.　　错解：1　　错因分析：对于①，若a∥b，bα，则应有a∥α或aα，所以①不正确；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或bα，因此②不正确；对于③，

3、若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题.综上，在空间中，以上三个命题都是假命题.　　正解：0　　易错点二：定义理解不清导致错解　　例3若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是.　　错解：b与α相交或b∥α　　错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.直线b与平面α的位置关系还有bα.所以b与α相交或bα或b∥α都可以.　　正解：b与α相交或bα或b∥α　　例4如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，则AO与A′C′所成角的度数为.　　错解：∵A′C′∥AC

4、，　　∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.6　　∵OC⊥OB，　　AB⊥平面BB′CC′，　　∴OC⊥AB.又AB∩BO=B，∴OC⊥平面ABO.　　又OA平面ABO，∴OC⊥OA.　　在Rt△AOC中，OC=22，AC=2，　　sin∠OAC=OCAC=12，∴∠OAC=30°或150°.即AO与A′C′所成角的度数为30°或150°.　　错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠OAC可能是OA，A′C′所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.　　正解：在Rt△AOC中，OC=22，A

5、C=2，　　sin∠OAC=OCAC=12，∴∠OAC=30°.由两异面直线所成角为锐角或直角得AO与A′C′所成角的度数为30°.　　易错点三：忽视判定定理中的条件导致错解　　例5如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.　　（1）证明：BC1∥平面A1CD；　　（2）设AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱锥CA1DE的体积.　　错解：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.　　又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.　　所以BC1∥平面A1CD.　　（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以A

6、A1⊥CD.由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1.6　　由AA1=AC=CB=2，AB=22，得∠ACB=90°，CD=2，A1D=6，DE=3，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D.　　所以VCA1DE=13×12×6×3×2=1.　　错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“DF平面A1CD，BC1平面A1CD”，缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.　　正解：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点.　　又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.　

7、　又因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，　　所以BC1∥平面A1CD.　　例6如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：　　（1）B，C，H，G四点共面；　　（2）平面EFA1∥平面BCHG.　　错解：（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.　　又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.　　∴B，C，H，G四点共面.　　（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.　　∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，　　∴EF∥平面BCHG.　　∵A1G∥EB，A1G=EB∴四边形

8、A1EBG是平行四边形.　　∴A1E∥GB.　　∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG.6　　∴A1E∥平面BCHG.