数列与不等式30大题(有答案)

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1、数列与不等式综合问题30道a1+a2+⋯+an1.已知数列an是等差数列，bn=(n=1,2,3,⋯)．证明：数列bn是等差数列．n12.已知曲线C:xy=1，过C上的点Anxn,yn作斜率为kn=−的直线交曲线C于另一点xn+211An+1xn+1,yn+1，点列An的横坐标构成数列xn，其中x1=．7(1)求xn与xn+1的关系式；11(2)令bn=+，求证：数列bn是等比数列；xn−23(3)若c=3n−tb(t为非零整数，n∈)，试确定t的值，使得对任意n∈，都有c>cnn++n+1n成立．3.设n∈∗，xn是曲线y=x2n+2+1在点1,2处的切线与x轴交点的横

2、坐标，(1)求数列xn的通项公式；2221(2)记Tn=x1x3⋯x2n−1，证明：Tn≥4n．14.已知数列an满足a1=，2an+1−an=1．2(1)求数列an的通项公式；a1+a2+⋯+an(2)证明：<1．nSn1115.已知数列an的前n项和为Sn，点n,在直线y=x+上．数列bn满足bn+2−2bn+1+n22bn=0n∈+，b3=11，且其前9项和为153．(1)求数列an，bn的通项公式．3k(2)设cn=，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n∈+都成立2an−112bn−157的最大正整数k的值．6.已知数列an是等比数列，首项a1=1，公

3、比q>0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．(1)求数列an的通项公式；1anbn(2)若数列bn满足an+1=，Tn为数列bn的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最2大值．7.已知an是正整数组成的数列，a1=1,且点(an,an+1)(n∈∗)在函数y=x2+1的图象上；(1)求数列an的通项公式；(2)若数列b满足b=1，b=b+2an,求证：b⋅b

4、正数，其前n项和Sn满足Sn=．2(1)求an与an−1n≥2之间的关系式，并求an的通项公式；111(2)求证：++⋯+<2．S1S2Sn第1页（共23页）10.在等比数列an和等差数列bn中，a1=b1>0，a3=b3>0，a1≠a3，试比较a5和b5的大小．11.设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=1+Snn∈∗．(1)求数列an的通项公式；a2(2)若数列bn为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较bn+1与1+b1+b2+a1⋯+bn的大小．an∗12.已知数列an中，a1=1，an+1=n∈．an+311(1)求证：+是等比数列，并求an

5、的通项公式；an2=3n−1⋅n⋅an−1λ<2n−1T+n对一切n∈∗(2)设bnnn，记其前n项和为Tn，若不等式2n2恒成立，求λ的取值范围．13.已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1−3，数列bn的前n项和为Tn，点an,bn在函数y=nx−1图象上．(1)求数列an的通项公式；(2)求Tn；5n2(3)试比较Tn和Bn=−n的大小，并证明．2214.已知等差数列an的前n项和为Sn，非常数等比数列bn的公比是q，且满足：a1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．(1)求an与bn；an(2)设cn=2bn−λ⋅32，若数列cn是递减数列，求实数

6、λ的取值范围．15.某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？Sn16.是否存在一个等差数列an，使是一个与n无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请S2n说明理由．3x∗17.函数fx=，数列an满足a1=1，an+1=fan,n∈，2x+31(1)求证：数列是等差数列；anm−2003∗(2)令bn=an−1⋅ann≥2，b1=3，Sn=b1+b2+⋯+bn，若Sn<对一切n∈成立，2求最小正整数m．1218.已知常数p满

7、足0x对n∈∗成立．n+1nnban−119.设b>0，数列an满足a1=b，an=n≥2．an−1+n−1(1)求数列an的通项公式；第2页（共23页）(2)证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．1220.已知常数p满足0